ECUACIONES

Definamos antes el término «Expresión algebraica»

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. EJEMPLOS

• Longitud de la circunferencia: , donde  es el radio de la circunferencia.

• Área del tríángulo       

                    donde b es la base y h la altura

       

• Ecuación de la circunferencia con centro en el origen:  x²  +  y² = r²   

 

Entendiendo el concepto de expresión algebraica iniciamos con ecuaciones

                                                             ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o varias cantidades desconocidas

llamadas  incógnitas. La parte izquierda de la ecuación es el primer miembro y la parte derecha es el segundo miembro

Toda ecuación de la forma:   a x + b = c,  Donde  a,b  ∈  R   y  a ≠ 0 se llama ecuación de primer grado o ecuación lineal.

Resolver una ecuación implica encontrar el valor de la incógnita que satisface la igualdad. Ese valor es la solución .

Para resolver una ecuación lineal, primero adicionamos el opuesto de b a ambos miembros de la ecuación

y después multiplicamos por el recíproco de a a ambos miembros de la ecuación.Luego la transformamos en una ecuación

equivalente a la inicial,hasta despejar la incógnita utilizando las propiedades de la adición y de la multiplicación.

Ejemplos:

Solucionar la siguientes ecuación:

5x  –  20  = 120

5x – 20 + 20 = 120 + 20      Adicionamos el opuesto de – 20 a ambos miembros de la ecuación.                

5x –  [  (20 +( – 20) ] = 140              Aplicamos la propiedad asociativa.

5x   –  0 = 140                          Aplicamos la propiedad  invertiva  de la adición.    

5x = 140                              Aplicamos la propiedad modulativa de la adición    

(1/5)5x = (1/5)140                      Multiplicamos por el inverso multiplicativo de 5

(1/5 .5)x = 140/5                     Aplicamos la propiedad asociativa de la multiplicación

1.x      = 28                   Aplicamos la propiedad del inverso  multiplicativo

x = 28                     Aplicamos la propiedad modulativa de la multiplicación

El proceso anterior muestra claramente la aplicación de las propiedades vistas en los números reales para la solución.

En la practica se utiliza la transposición de términos

Para la solución por este método  se puede atender al concepto de ecuaciones equivalentes:

Dos ecuaciones son equivalentes si al resolverlas se obtiene el mismo resultado.

Tomando esta definición y tratando de resumir las propiedades de las desigualdades, se podrían derivar las siguientes “reglas”:

• Lo que esté sumando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro
• restando.
• Lo que esté restando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro sumando.
• Lo que esté multiplicando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro dividiendo.
• Lo que esté dividiendo en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro multiplicando.
• La división por cero ( 0) sólo tiene solución cuando el cero( 0) está en el numerador.

Resolvamos nuevamente el  ejercicio anterior, teniendo en cuenta estas reglas:

5x  –  20  = 120

5x = 120 + 2O      -20  Pasó al miembro derecho a sumar

5X = 140                se efectuó la suma

X  = 140/5             5 pasó a dividir

X =   28                 Se efectuó la división

Para saber hacer la prueba, se remplaza el valor hallado en la ecuación original

si se verifica la igualdad, indica que el valor hallado es la solución de la ecuación, es decir el valor que la hace verdadera.

Prueba:

5x  –  20  = 120

5(28) – 20 =120

140  – 20 = 120

120      =    120

Se verifica  que el resultado del miembro izquierdo es igual al del miembro derecho.

Ejemplo 2

Hallar el valor de x

9x – 14 – 3x = 6 + 2x – 8

9x –  3x – 2 x = 6 – 8 + 14   Agrupamos términos semejantes

4x = 12

x=12/4     →  x = 3

Los invito a ver el siguiente vídeo.

PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Muchas situaciones de la vida diaria  pueden plantearse en términos de ecuaciones y por tanto, una vez planteadas,pueden resolverse.

El éxito alcanzado para resolver un problema , depende de la habilidad que se adquiera en la traducción del lenguaje usual a un lenguaje matemático.

Veamos algunos  Ejemplos

LENGUAJE  USUAL                                                                            LENGUAJE MATEMÁTICO

El doble de un número   aumentado en 3 equivale a  253                             2x = 253

Las tres cuartas partes de un número aumentado en 5  equivale a 25      3/4x+5= 25

El triple de un número disminuido en 2  es igual a  28                              3x – 2 =   28

10 más el doble de un número equivale a 35                                              10 + 2x = 35

 

APLICACIONES

Pasos para resolver ecuaciones

1.   Leer cuidadosamente el problema.Determinar cuales son las cantidades conocidas y cuales las buscadas.
2.   Escoger una variable que represente el valor buscado en el problema.3
3.  Leer nuevamente el problema y plantear  una ecuación que represente la ecuación ente los datos del problema.
4.  Resolver la ecuación.
5.  Comprobar la solución  con el planteamiento inicial del problema.

Ejemplo

Un estudiante gasta la mitad de su dinero en el descanso y una cuarta parte en transporte. Si al final queda con $6000

¿Cuanto dinero tenía?

1.La cantidad conocida es lo que le quedó:  $6000    y   la desconocida es el dinero que tenía

2. Llamaremos  x  a la cantidad  de dinero que tenía ,    x/2,dinero gastado en el descanso,

y        x/4 ,dinero  que gastó en transporte

3. Después de hacer sus gastos le quedó:

x – x2 +x/4                 ⇒               x – x/2-x/4=6000

4. Solución de la ecuación

5. El estudiante le quedó $ 8.000

Para más problemas resueltos ver el siguiente vídeo:

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