ESTADÍSTICA

Rama de la matemática que trata de la recolección, organización y análisis de datos

con el fin de obtener explicaciones y predicciones sobre fenómenos observados

Algunos conceptos importantes de un estudio estadístico son:

• La población. Es el grupo de elementos o características con propiedades comunes sobre las cuales se dirige un estudio estadístico.

• La muestra. Es un grupo más pequeño tomado de la población pero que permite obtener la misma información. A cada uno de los elementos de la población o la muestra se le denomina individuo.

• Un dato. Es el valor de la variable asociada a un elemento de la población o de la muestra.

 

Relación entre población, muestra individuo y dato

• Una variable. Es la característica de interés de cada individuo. Puede ser cualitativa (o de atributos), cuando se refiere a una cualidad de un elemento de la población, o cuantitativa (o numérica), cuando cuantifica un elemento de la población o de la muestra

Distribución de frecuencia: Al resumir grandes colecciones de datos, es útil distribuirlos en clases o categorías y determinar el número de individuos que pertenecen a cada clase llamado frecuencia de clase.

 Una disposición tabular de los datos por clases junto con las frecuencias correspondientes de clase se denominan distribuidores de frecuencia o tablas de frecuencia.

  Ejemplo

En un centro médico se realizó una encuesta para establecer la edad, el peso y el género de los pacientes atendidos durante una semana.

Especifica los elementos considerados en este estudio estadístico.

 Solución: Los elementos de este estudio estadístico se presentan en la Tabla

PRÁCTICA GUIADA

En un instituto educativo con un total de 50 estudiantes, se aplicó a 10 de ellos una prueba de lenguaje sobre 100 puntos, obteniendo los resultados: 53, 53, 53, 54, 55, 70, 75, 75, 85, 90.

Análisis

Población y muestra

Como el total de estudiantes del instituto educativo es 50 estudiantes, entonces la población es 50. Como se aplicó la prueba a 10 estudiantes, entonces la muestra es 10. La calificación en la prueba de lenguaje es la variable.

Tabla de frecuencias: Las tablas de frecuencias sirven para condensar o resumir la

información:

Frecuencia Relativa Simple: h_i =f_i/N                 

Frecuencia Absoluta Acumulada F_i = F_i = f1 + f2 +…

Frecuencia Relativa Acumulada H_i =h1 + h2 +…

Frecuencia Porcentual Acumulada F% = h_i(100)

 Frecuencia porcentual simple f % = hi(100)

 Gráficas.

 La información recopilada puede condensarse o resumirse también en las siguientes gráficas: barras, histograma, polígono de frecuencias o gráfica circular.

Diagrama de barras                                               

                                            Calificación de la prueba de lenguaje

 Histograma

                                                   Calificación de la prueba de lenguaje

La diferencia entre el diagrama de barras y el histograma es que en el caso de las barras estas tienen un espacio entre ellas, mientras que en el histograma las barras van pegadas.

Polígono de frecuencias        

                                                       Calificaciones de la prueba de lenguaje     

Los segmentos que forman el polígono de frecuencias parten del punto medio de cada una de las barras.

Gráfica circular

Calificaciones de la prueba de lenguaje

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

 Resolver las siguientes situaciones aplicado las conceptualizaciones que vimos anteriormente:

El alcalde de Villavicencio ha decidido invertir en obras sociales para los estratos menos favorecidos y para esto aplicó una encuesta a 50 transeúntes que se encontraban en el parque Santander, para saber que estrato es el que más predomina en el sector. La pregunta que realizo fue: ¿A qué estrato socioeconómico pertenece usted?

 La siguiente tabla muestra las respuestas de los 50 encuestados.

         a. Determina el tipo de variable que se utiliza en el problema (cualitativa o cuantitativa).

         b. Construye la tabla de frecuencias correspondiente.

        c. A partir de la tabla de frecuencias, elabora el diagrama de barras correspondiente.

        d. ¿Qué nivel socioeconómico tiene una mayor representación?

        e. ¿Cuál es el porcentaje de representación de cada estrato?

        f. Si la alcaldía decide implementar la obra social en los barrios donde la representación de los   

           estratos 1 y 2 sea mayor al 67%. ¿Este barrio tendría la inversión de obras sociales?

ESTRUCTURACIÓN-CONCEPTUALIZACIÓN

Medidas en estadística

 Mediante las medidas estadísticas logramos resumir la información y conocemos algunos datos importantes que nos permiten emitir conclusiones sobre las poblaciones y hacer comparaciones entre ellas. En los cursos anteriores ya hemos estudiado las medidas de centralización o medidas de tendencia central. El cuadro siguiente muestra una clasificación general de las medidas estadísticas:

PRÁCTICA GUIADA

Medidas de tendencia central

Tomando en cuenta los datos de las calificaciones de la prueba de lenguaje:

53, 53, 53, 54, 55, 70, 75, 75, 85, 90, vamos a identificar la moda, la mediana y la media aritmética o promedio.

Moda (Mo) :   La moda (Mo) es el dato que más se repite

    53, 53, 53, 54, 55, 70, 75, 75, 85, 90.

.                                                                                  Mo= 53

Mediana (Me): Es el dato que queda en el centro de un conjunto ordenado.

 53, 53, 53, 54, 55, 70, 75, 75, 85, 90.

(55+70) ÷ 2 = 62.5

Me = 62.5 que se aproxima a 63 por tener la primera cifra decimal igual o mayor que 5.

Recordemos que cuando el número de datos es impar, la Me es el dato que se encuentra en el centro del conjunto ordenado y cuando el número de datos es par, se promedian los dos datos centrales del conjunto ordenado.

Media aritmética, media, o promedio (  x ):  La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

53, 53, 53, 54, 55, 70, 75, 75, 85, 90

Como en 63.3 la cifra decimal es menor que 5, entonces dejamos solamente 63.

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

Un galpón sacrifica pollos diariamente, para la venta. El número de pollos sacrificados en los últimos 15 días son:  25, 27, 35, 28, 30, 24, 25, 29, 32, 37,30,28, 28, 30,25 

Las edades de un grupo de 10 estudiantes de un curso son 15, 17, 15, 18, 10, 14, 15, 19, 12, 17. Encuentra la moda, la mediana y la media aritmética

En un vivero se lleva el registro de las hojas que tienen las plantas en una fecha determinada. Se tomaron ocho plantas al azar y se encontró que el número de hojas que tiene cada una de ellas es: 9, 8, 7, 5, 8, 6, 8, 9. Ordena el conjunto y encuentra las medidas de centralización.

Considera los siguientes datos sobre la concentración de globulina receptora, para una muestra de mujeres con pruebas de laboratorio de evidente anemia por deficiencia de hierro:

                 Indica la moda, la mediana y la media

      El número factorial

 n! factorial es el producto de todos los números desde 1 hasta el número dado.

Podemos decir simbólicamente:

                n! = 1 x 2 x 3 x 4 … (n 1) (n)

                1! = 1

                2! = 1 x 2 = 2

                3! = 1x 2x 3 = 6

                4! = 1x 2 x3 x 4 = 24  

                5! = 1x 2x 3x 4x 5 = 120

Variaciones

Un arreglo ordenado y sin repetición se denomina variación ordinaria o variación sin repetición. Un arreglo ordenado y con repetición se denomina variación con repetición.

En las variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: No entran todos los elementos, sí importa el orden y no se repiten los elementos.

PRACTICA GUIADA

Calcular las posibles variaciones de dos elementos que se pueden establecer con las letras m,p y q.

                    Simbólicamente:                                                     

Como m=3 y n= 2, entonces:

Las posibles variaciones de dos elementos que se pueden establecer con las letras m, p y q son seis

Las parejas son: (m,p),(m,q),(p,m),(p,q),(q,m) y (q,p) en este caso las parejas (m,q) y (q,m) son distintas:

Variaciones con repetición Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n

 Si importa el orden y se repiten los elementos

Ejemplo:  Cuantos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3, y  4

Se forman 16 números de dos cifras, veamos cuales son estos números:

                                11   12   13   14  

                                21   22   23   24

                                31   32   33   34  

                                41   42   43   44

                       Permutaciones

 Llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto, de tal forma que: sí entran todos los elementos, sí importa el orden y no se repiten los elementos

                                                                   P_{n =} n!

Ejemplo

Dado el conjunto {1, 2, 3}, es posible ordenar sus elementos, sin repetirlos

                                                P_{3 =} 3! = 1 x 2 x 3   Se obtiene 6 permutaciones para estos elementos

                                                {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2} y {3, 2, 1}

Combinaciones:

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: no entran todos los elementos, no importa el orden, no se repiten los elementos

Mariana tiene 6 amigas y desea invitarlas a cenar,

 pero solo puede invitar a 4 simultáneamente.

 ¿Cuántos grupos distintos de invitadas puede

 tener?

Hay 15 grupos de invitadas a cenar

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

1. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de “FINCA”?

2. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los 4 primeros números pares del conjunto de los números naturales?

 3. ¿Cuántos partidos se juegan en un torneo conformado por 6 equipos?

 4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los cargos de presidente, secretario y tesorero de una junta de acción comunal sabiendo que hay 7 posibles candidatos?

 5. En la heladería le ofrecen a Martha conos de tres sabores, si la heladería dispone de 5 sabores, ¿Cuántas variaciones de sabores hay?

Experimentos aleatorios y espacio muestral

Algunos de los conceptos que abordaremos, ya son conocidos de los cursos anteriores, y a partir de ellos construirás otros nuevos. Recordaremos aquí lo visto: Piensa en la experiencia aleatoria al hacer los lanzamientos:

a. Una moneda

b. Un dado

La moneda puede caer en cara o en sello y el dado puede caer en uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6. A cada uno de estos sucesos se le llama suceso elemental, además, tanto en el caso de la moneda, como en el caso del dado se trata de sucesos equiprobables. Los sucesos equiprobables son aquellos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. La probabilidad de ocurrencia la calculamos por la aplicación de la regla de Laplace. Recordemos que para sucesos elementales como los de la moneda o los del dado, la Ley de Laplace, se expresa como:

                                           P (de cada suceso elemental) = 1/ Número de sucesos elementales

Si la moneda no está alterada, la probabilidad de que caiga cara es:

                                          P (cara)=1/2

 Caiga cara o cara sello, tienen la misma probabilidad.

Si el dado no está cargado, la probabilidad de que caiga uno

cualquiera de los números de 1 a 6 es siempre igual a 1 /6. Por ejemplo, la probabilidad de que salga 4 es:

P (1) =1/6, es decir, todos los números del dado tienen la misma probabilidad de caer.

Cálculo de probabilidades

Analicemos: ¿Cuál es la probabilidad de todos los sucesos elementales asociados a un experimento? En el caso del lanzamiento de la moneda, hemos visto que hay dos sucesos elementales posibles: cara y sello.

En el lanzamiento de un dado, ¿cuáles son los sucesos elementales posibles? Son seis: sacar 1, sacar 2, sacar 3, sacar 4, sacar 5 y sacar 6. Si el dado es correcto, cada uno de estos sucesos es equiprobable, entonces:

La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio es 1.

¿Cuál es la probabilidad de no sacar 3? La probabilidad de no sacar 3 es igual a sacar cualquiera de los números menos 3.

La probabilidad de sacar 3 es P (3) =1/6

Como la suma de las probabilidades es 1, entonces, la probabilidad de no sacar 3 es:

Probabilidad de eventos combinados. Regla de la suma:

Veamos la siguiente situación: En una caja se tienen diez tarjetas numeradas del 1 al 10. Se extrae una tarjeta y se quiere determinar:

a. La probabilidad de extraer una tarjeta que tenga el número 4.

 b. La probabilidad de sacar el número 9.

c. La probabilidad de elegir al número 4 ó 9.

Solución

El espacio muestral (EM o S) es el conjunto de tarjetas:

EM = S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

El número de elementos del espacio muestral es n (EM) = n(S) = 10.

La regla de Laplace nos dice que la probabilidad de sacar una tarjeta cualquiera es:

La probabilidad de sacar la tarjeta con el número 4 es P (4) = 1/10 porque solo hay una tarjeta con ese número entre 10.

La probabilidad también puede expresarse en forma decimal o en forma porcentual.

Así: P (4) = 1/10 = 0.10 = 0.10×100 = 10%

En c) se pide la probabilidad de que la tarjeta que se extraiga tenga el número 4 o el número 9. Cuando esto sucede, se suman las probabilidades de los eventos ya que «extraer 4» excluye la probabilidad de «extraer 9», esto es:

Esta probabilidad indica que puede suceder uno de los dos eventos mutuamente excluyentes; esto es, que salga la tarjeta con el número 4 o que salga tarjeta con el número 9.

Cuando dos eventos no pueden ocurrir simultáneamente al realizar un experimento, se dice que éstos son mutuamente excluyentes o independientes y para terminar la probabilidad de dos eventos de este tipo se suman las probabilidades de que ocurra cada evento.

ACTIVIDAD PARA DESAROLLAR

2. Si en un juego de dominó se tienen boca abajo las siguientes fichas, determina las cuestiones señaladas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha en la que una de sus partes tenga el número 5?

b. ¿Cuál la de obtener una ficha cuyos números sumen 5?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que si una persona toma una ficha ésta sea blanca?

d. Si la primera persona sacó la ficha (5,0), ¿cuál es la probabilidad de que una segunda persona levante una ficha que tenga un 4?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una ficha tenga el número 6?

i. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden obtener con las 3 últimas fichas? j. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tener 5 fichas, la primera persona saque la (5,3) y la segunda la (4,1)?

NÚMEROS DECIMALES

Una Fracción decimal es una fracción en la cual el denominador (el número de abajo) es una potencia de diez (como 10, 100, 1000, etc.).

Ejemplos    

7/100,  15/10,  24/100

Podemos escribir fracciones decimales con un punto decimal (y sin denominador). Esto puede facilitar mucho los cálculos de operaciones como suma, y multiplicación en fracciones.                                                             

Un decimal es la connotación  particular de las fracciones decimales, así: 

En los números decimales, se tiene en cuenta el valor de posición de las cifras, al igual que en los números naturales.

 El Número decimal consta de dos partes separadas por una coma(,) llamada coma decimal. La parte entera está escrita a la izquierda de la coma(,)

y la parte decimal esta escrita a la derecha de la coma(,). 

Veamos con un ejemplo:

         El número 4,82 está formado por 4 unidades, 8 décimas y 2 centécimas

La tabla muestra otros ejemplos

Observe que el uso del cero es determinante para establecer el valor de las demás cifras. Cuando en un número decimal la parte entera no es 0,

también se puede leer de la siguiente manera: se nombra la parte entera y después la parte fraccionaria. 

Expresemos las siguientes fracciones en forma decimal   4/10,     325/100,     3524/100,    98/10.000

Para efectuar la división,se escribe el numerador, y  la coma(,) se debe correr de derecha a izquierda tantas veces como ceros tenga

la potencia de diez

4/10=0,4    → 410=0,4                                       325/100=3,25

3524/100=35,24                                                                 9810000=0,0098                                          

 Expresión decimal de una fracción cualquiera:

para expresar una fracción en número decimal se efectúa la división teniendo en cuenta que el numerador en la fracción es el dividendo  y el

denominador es el divisor, así:

  Un número fraccionario se puede escribir en forma decimal, dividiendo el numerador entre el denominador.

NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS

Un número decimal periódico es un número fraccionario caracterizado por cifras que se repiten indefinidamente.

Ejemplos: 3,181818 1,333333 15, 143143

Los invito a ver los siguientes videos y luego regresar a la clase

Orden en los números decimales. 

Para determinar si un número decimal es menor, mayor o igual a otro, se comparan las cifras decimales una a una de cada decimal. En la cifra que se establezca

la diferencia se puede determinar el signo  >,< o =, Así:

a)  3, 0056451  >  3,0056351  Hasta el color amarillo son iguales,pero en el siguiente decimal 4 es mayor que 3  (4 > 3) 

Luego, 3,0056321   >    3,0056231     

b)  5,487 < 5,49  por que 8 < 9 (Hasta el color amarillo son iguales)

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OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Adición y sustracción

Son muchas las situaciones diarias en las que se requiere realizar adiciones con decimales para resolver problemas que tienen que ver con medidas, peso, tiempo, dinero, etcétera.

En el caso de la suma y la resta,se ubican los enteros con enteros y decimales con decimales, se igualan los ceros que sean necesarios dejando la columna ordenada de las comas y se procede a realizar la suma o resta.

 Veamos el siguiente problema: 
•    La mamá de Juan quiere hacerle un traje y  para ello, necesita tela.  Para el pantalón requiere 1.10 m y para el saco 1.35 m, ¿cuántos metros necesita en total? 

Al resolver el problema con los datos proporcionados, el planteamiento de solución requiere una suma: 1.10 m + 1.35 m  y se solucionaría siguiendo tres pasos: 

1. Se escriben los números, uno debajo de otro, de manera que los décimos queden en una columna, los centésimos en otra, y así sucesivamente.

1.10

1.35

 2. La suma se iniciará por la columna de la derecha, tomando los lugares vacíos como ceros, y al llegar al punto decimal, éste se anotará alineándolo con los de arriba.            

                      1.10      

                   + 1.35                                

                  ________

                       .45 

3. Se suma la parte entera    

                                 En total necesita 2.45 m. de tela.
 
Se observa, en el resultado de la suma con decimales, que las unidades del mismo orden se acomodan en forma vertical y luego se suman las columnas, del mismo modo que se realiza con los números naturales. 

Un trabajador instaló 12 m2 de alfombra en una casa. El primer día instaló 1.90 m2. Después de dos días de trabajo ha instalado 7.58 m2, ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra instaló el segundo día? 
La situación planteada se presenta así:

Hay una adición de dos sumandos y se desconoce uno de ellos.  

1.90 m²   +   x m²      =     7.58 m²

Trabajo del          Trabajo del           Trabajo de

primer día            segundo día          los dos días 

Una operación para encontrar la respuesta es la sustracción.  

 7.58 m²  – 1.90m²  =     x m²  ( x es el valor a encontrar ) 
Suma      sumando conocido       sumando que falta

                            

L a sustracción es la operación inversa a la adición. 
 
Los términos de la sustracción son: 
 7.58 m²    –   1.90 m²   =  5.68 m²

 Minuendo       sustraendo     diferencia 
  
Lo importante es darse cuenta de que el sustraendo se coloca debajo del minuendo y el punto decimal se alinea verticalmente. Se resta como si fueran números naturales, de tal manera que el punto decimal del resultado se alinea con el punto decimal de los demás elementos. Así: 

Un caso que merece tomarse en cuenta es cuando el minuendo tiene más o menos cifras decimales que el sustraendo.

Ejemplos: 
a. 1,003.003 – 478.25. Para realizar esta operación, se obtiene un decimal equivalente al sustraendo, agregándole a éste un 0 a la derecha. 

MULTIPLICACIÓN

Multiplicamos normalmente, pero al final contamos el número de decimales que hay en el multiplicando y en el multiplicador, y en el producto final recorremos la coma de derecha a izquierda. Aunque no es necesario alinear unidades con unidades y decimales con decimales, como proceso de estrategia sugerimos hacerlo para una mejor organización.

División de decimales

Pasos para resolver divisiones con decimales:

Ejemplos: Realizar las siguientes divisiones

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FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de sus factores;es decir, expresar en términos o valores que se multipliquen.

Antes de iniciar la factorización recordemos los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Factores primos
Al considerar un grupo de factores del número 12, como el 2 y el 6, se tiene que
el primero es primo, pero el segundo no. Sin embargo, el 6 a su vez se puede expresar como el producto entre 2 y 3, que sí son números primos. Por lo tanto:
12 = 2 X 2 X 3 Luego 12 = 2² x 3 12=4×3
La expresión de un número como producto de sus factores primos se llama Descomposición en factores primos.
Al calcular los factores primos de un número, se debe comenzar por los factores menores. Después de seleccionar el menor de los factores primos, se divide el número entre este. Luego, se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se repite el procedimiento hasta que el cociente sea 1.
Entonces, el número es igual al producto de los factores primos entre los que se dividió.
Ejemplo 1
La descomposición del número 120 en sus factores primos se hace de esta manera:

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El mayor de los divisores comunes de dos o más números naturales se llama
máximo común divisor. Se designa con la expresión M.C.D.
Un procedimiento sencillo que se utiliza para encontrar el M.C.D. de dos o más
números es la descomposición en factores primos.
Ejemplo
Para hallar el MCD de 12, 36 y 20, primero se descomponen los números en sus factores primos. Es decir:

Luego, se toman todos los factores comunes elevados al menor exponente y se multiplican con los primos que quedaron de la descomposición.
En este caso, el único factor que tienen en común los tres números es el 2²
Por lo tanto, el MCD.(12, 18, 20)= 4

Mínimo común múltiplo
El menor de los múltiplos comunes, diferente de cero, de dos o más números
naturales se llama mínimo común múltiplo y se abrevia con la expresión m.c.m.
Para hallar el m.c.m. de dos o más números, estos se descomponen en factores primos.
Ejemplo
El m.c.m. de los números 12, 36 y 20 se calcula terminando la descomposición hasta obtener solo unos:

m.c.m(12,36,20)=180

Se toman los factores comunes y no comunes y se multiplican. En este caso son: 2×2 3×3 x5.
Se calcula el producto entre estas potencias y el resultado es el m.c.m.
Por lo tanto, m.c.m.(12, 18, 20)=180.

El proceso que consiste en encontrar varios números cuyo producto sea igual a un número dado se conoce con el nombre de factorización.
Por ejemplo:
3 y 5 son factores de 15, porque (3)(5) = 15.
2 y a son factores de 2a, porque (2)(a) = 2a.
Los factores de 45x²y³ son 45, x² y y³, porque (45)(x²)(y³) = 45x²y³.
También 9x² y 5y³ son factores de 45x²y³, porque (9x²)(5y³) = 45x²y³

                                     

Extracción del factor común

Dada una expresión algebraica, observamos las letras que se repiten en sus términos, si las hay. Y también revisamos si en sus coeficientes hay un máximo común divisor (MCD).
Por ejemplo, en la expresión 6x³ + 3x² + 9x, la x se repite en cada término y 3 es
el MCD de 6, 3 y 9, entonces 3x es el mayor factor común o, máximo factor común.
Ejemplo:
Factorizar  6a ⁴ + 36a³ + 60a²
Máximo factor común de 6a ⁴ + 36a³ + 60a² es  6a².( Porque 6 es el número mayor que divide a 6, 36 y 60   y a² está en los tres términos y es la de menor exponente, luego 6a² divide exactamente cada termino) 
  Por lo tanto, 6a² (a² + 6a + 60 ) = 6 ⁴a+  36a³ + 60a².

Métodos utilizados para factorizar un polinomio. 
Primero debes saber que, no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas y por 1. 

Por ejemplo:  el polinomio ax + by + cz, no se puede factorizar ya que, solo es divisible por 

ax + by + cz y por 1;es decir, este polinomio no tiene un factor en común.

Para poder factorizar una expresión algebraica es necesario que exista al menos un factor en común dentro de sus términos, ya sean números y/o letras.

PRACTICA GUIADA

 Factor común de un polinomio.

Para calcular el factor común de un polinomio, se halla el máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por el máximo común divisor de la parte literal.

Identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común.

 Para factorizar el polinomio 3x³ + 12x² + 6x por el factor común se debe:

• Determinar el factor común de los coeficientes del polinomio.

3x³ +12x² + 6x             m.c.d.(3, 12, 6) = 3

• Hallar el máximo común divisor de la parte literal del polinomio.

3x³ + 12x² + 6x         m.c.d.(x³ , x² , x) = x (Se selecciona la letra de menor exponente)

• Expresar el polinomio como el producto entre el factor común y el cociente de dividir cada término entre este factor. 3x (x² + 4x + 2)                                                       

Factor común: Es el producto del coeficiente común por la parte literal común. Cociente: es el resultado de dividir el polinomio entre el factor común.

Debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común. Veamos otros ejemplos:

Factorizar    x² y + x² z.
Identificamos el factor común de x² y   y    x² z el cual es x², entonces dividimos los términos de la expresión por    x²;

 x² y  ÷ x² = y    y     x² z ÷ x² = z.   Ahora escribimos la factorización;
 x² y + x² z = x² ( y + z )

Factorizar   8 m² – 12 mn.

Identificamos el factor común de 8 m² y 12 mn el cual es 4m, entonces dividimos los términos de la expresión por 4m;

 8 m² ÷ 4m = 2m    y     12 mn÷ 4m = 3n. Ahora escribimos la factorización;
8 m² – 12 mn = 4m(2m – 3n)

 Factor Común polinomio o por agrupación de términos.
Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen algún factor en común, puedes realizar una agrupación en paréntesis de los términos que, si tienen, y así podrás factorizar.
Generalmente la agrupación puede hacerse de varios modos, lo importante es que siempre los términos que se agrupen tengan algún factor en común. Independiente de cómo se agrupen los términos, el resultado será el mismo.
Ejemplos;
a) Factorizar la expresión      am + bm + an + bn.
Podemos ver que, los dos primeros términos tienen el factor común m y los dos últimos el factor común n. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro, precedido de un signo +, ya que es el signo del tercer término.

                                             am + bm + an + bn = (am + bm) + (an + bn)

 Luego sacamos el factor común de cada paréntesis, y nos queda el binomio en común (a + b), que se anota como producto de (m + n).

                                 am + bm + an + bn  =   m(a + b)   + n( a + b)    

am + bm + an + bn  =   (a+b)(m+n)

En este mismo ejemplo, podemos agrupar el primer y el tercer término que tienen el factor común a, y el segundo y cuarto término que tienen el factor común b, sacamos el factor común de los paréntesis y nos queda el binomio en común (m + n), que se anota como producto de (a + b).
 
 Nos da el mismo resultado, ya que el orden de los factores no altera el producto.

Para factorizar un polinomio por agrupación de términos, se aplica la propiedad asociativa de la adición y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. De esta manera, se hallan factores comunes a cada grupo de términos.

  Entonces, para factorizar la expresión 2x² + 4x + 3xy + 6y

1. Se agrupan términos que tengan algún factor común  (2x² + 4x) + (3xy + 6y)
2. Se factoriza cada grupo de términos.  2x(x + 2) + 3y(x + 2)
3. .Se factoriza la nueva expresión común, en este caso (x + 2).

(x + 2) (2x + 3y) Por lo tanto:   2x² + 4x + 3xy + 6y = (x + 2) (2x + 3y)

Factorizar la expresión   6 m – 9 n + 21 n x – 14 m x.

• Se agrupan términos que tengan algún factor común.

(6 m – 9 n) +( 21 n x – 14 m x)

• Se factoriza cada grupo de términos.

3(2m – 3n) + 7x (3n – 2m) = 3(2m – 3n) -7x (2m – 3n)

En este caso cambiamos el signo al segundo binomio

• Se factoriza la nueva expresión común, en este caso  (2m-3n)

(2m- 3n)(3-7x)   por lo tanto:  6 m – 9 n + 21 n x – 14 m x = (2m-3n) (3-7x)  

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

1. Factoriza estas expresiones calculando el factor común.

 a. 2x² yz – 2xy² z + 2x² y²

 b. 8x⁴ – 4x³ + 6x²

 c. 2x³ + 4x⁴ +2x²  

d. 5x⁷ + 6x⁶ + 3x⁵

 e. 5xy + 3x² – 2xy² 

• Escribe la factorización de cada polinomio por agrupación de términos

a.  ac – ad + bc – bd

b.  3ax – ay + 9bx – 3by

c.  18mx – 6my + 54nx – 18ny

d.  4ax + ay + 12x² + 3xy

e.  3xy – 3xz + 3x – y + z – 1

Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados perfectos es igual al producto notable suma por su diferencia;
 
La regla para factorizar una diferencia de cuadrados es; extraer la raíz cuadrada al primer y al segundo cuadrado, y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia.

La diferencia de cuadrados x² – 36 es equivalente al producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de x² y 36. Así:

                         x² – 36 = (x + 6) ( x – 6)

 Factorización de la suma de cubos perfectos

La suma de dos cubos perfectos equivale al producto de dos factores: el primero, un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos; el segundo, un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

La factorización de la suma de cubos perfectos se expresa así:   

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y² )

Ejemplo:

Para factorizar la suma x ³ + 27 se sigue este proceso:

• Se extrae la raíz cúbica del primer término.           Para x ³ es     = x

• Se extrae la raíz cúbica del segundo término.      Para 27 es  = 3

• Se expresa la suma de cubos como el producto de la suma de las raíces por la suma de los cuadrados de las raíces menos su producto.   x ³ + 27 = (x + 3) (x ² – 3x +9)

Factorización de la diferencia de cubos perfectos

La diferencia de dos cubos perfectos equivale a multiplicar dos factores: el primero, un binomio formado por la diferencia de las raíces cúbicas de los términos; el segundo, un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

La factorización de la diferencia de cubos perfectos se expresa así:   x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y² )

Factoriza el binomio x³ – 125.

Solución:

Factoriza la expresión x ³ – 125. Para ello, primero calcula la raíz cúbica de x ³ que es x y luego, la raíz cúbica de   125 que es 5.   

Después, expresa x ³ – 125 como el producto de la diferencia de las raíces (x – 5 ) y la suma de los cuadrados de las raíces más el producto de las mismas, es decir, (x ² + 5x +25).

 Entonces: x ³ – 125= (x – 5) (x ² + 2x + 25)

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

1. Factorizar por diferencia de cuadrados

a.      16x² – 9y²

 b.    144a² – 100b²

 c.     400n² – 169m² 

d.      25a¹² – 100a⁴ b¹⁰

• Factorizar por suma de cubos

a.   125 n ³ + 512

b.   27y ³ + 343

c.    m³ + 1 000

d.    z ³ + 729

3.Encuentra la expresión factorizada de cada expresión

a.      x ³ – 64y ⁶

b.       1 – 125a ⁹ y ⁹

c.       1 728x ⁶ – 343x ³ y ⁶ z ¹²

d.        8x ¹⁸ -729y ³ z ¹⁵

 Trinomio cuadrado perfecto
El trinomio cuadrado perfecto es igual al producto notable cuadrado de binomio, o sea, es producto de dos binomios iguales:

La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es; extraer la raíz cuadrada al primer y tercer término, y separar estas raíces por el signo del segundo término. Entonces, el binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo.

Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado, así:

                                         a² – 2 ab + b² = ( a  – b) ²                 a² + 2 ab + b² = (a + b)²

Factorizar:   a² + 14a + 4

       Se hallan las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos  a² y 49.Esas raices son

a y 7               

• Se verifica que el doble producto de esas raices es 14a, que corresponde al segundo término del polinomio       2(ax7)=14a

• Se factoriza la expresión y se obtiene como resultado    a² + 14a +7 = (a + 7) ²

 Ejemplo 2:  Factorizar   9x² – 16x + 64

Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos    9x² y   64   son 3x   y   8, respectivamente

El doble producto de esas raíces es 24x, que corresponde al segundo término del polinomio.

                                                           2 (3x .8 ) = 24x

 La expresión factorizada es:        9x² – 16x + 64 = (3x -8 ) ²

Factorización de trinomios de la forma    x²ⁿ + bxⁿ+ c

Un trinomio de la forma  x²ⁿ +bxⁿ + c, con n como un número entero, es factorizable si existen dos números p y q que cumplen las condiciones  p + q = b y  pq = c. En este caso, el trinomio se expresa como el producto de dos binomios con primer término  xⁿ y como segundos términos los números p y q. Es decir: x ²ⁿ + b x ⁿ+ c = (x ⁿ + p)(x ⁿ + q).

Para que aprendas a reconocer este tipo de trinomio, te tienes que fijar que cumpla las siguientes condiciones:

• El coeficiente del primer término es 1.
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado o múltiplo de 2.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 o la mitad  del exponente, y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo término, y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
  Ejemplo 1:  factorizar x²+ 5x +6   
•     En este ejemplo p=3 y q =2 porque p + q = 3+2 = 5 que es el coeficiente del segundo término del polinomio y  p.q = 3×2=6, luego x²+5x +6  =   ( x – 3 )( x +2)

Ejemplo 2: Factorizar   x² – 5x -14

Se descompone el trinomio en dos binomios donde el primer término es la raíz cuadrada del primer término; en el primero se coloca el signo menos (-) porque es el signo del segundo término (-5x). En el segundo se coloca más (+) porque se aplica ley de signos con los signos de los dos últimos términos del polinomio

                                            ( x –       )( x +    )

Como en los binomios tenemos signos distintos buscamos dos números cuyo producto sea -14(Término independiente) y diferencia sea -5 (segundo término), estos números son 7 y 2.Se escribe siempre el número mayor en el primer binomio

                                           ( x – 7 )( x + 2)

La expresión factorizada es:  x² – 5x -14= ( x – 7)( x + 2)

Ejemplo 3: Factorizar      x⁸– 2x⁴ – 80     

                                            x⁸– 2x⁴ – 80 = ( x⁴ – 10 )( x⁴ + 8)

Para facilidad de encontrar los números p y q

se descompone el número independiente (80)

en sus factores primos y se agrupan para encontrarlos.

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

1. Expresa cada trinomio como un binomio al cuadrado

a.            x ⁴ + 6x ² + 9

b.            x ⁶ – 4x ³ + 4

c.           y ⁸ – 2y ⁴ z ³ + a ⁶

d.             a ¹⁰ + 8a ⁵ + 16

e.            9a ² – 12ab + 4b²

• Expresa cada polinomio de la forma x ²ⁿ + bx ⁿ + c. Después, factorízalos de la forma (x ⁿ + p)(x ⁿ + q).

a.         x ² -14x + 33

b.          x ² – 10x + 9

c.          x ⁴ + 7x ² + 10

d.         x ⁴ – x ² – 12

e.          x ⁶ + 2x ³ – 15

Factorización de la forma     ax²ⁿ +bxⁿ +c

Se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior, en que el primer término tiene por coeficiente un número distinto de 1.
Para factorizar este tipo de trinomios, tienes que multiplicar el trinomio por el coeficiente de x²ⁿ, dejando solamente indicado el producto del segundo término, luego puedes factorizar como aprendiste en el caso anterior, y por último tienes que dividir por el mismo número que multiplicaste así:

Ejemplo:  Factorizar 20 x² + 7x – 6.
Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x² que es 20 y dejamos solamente indicado el producto de 20 por 7x que es equivalente a 7(20)x

             Ahora, factorizamos como aprendiste en el caso anterior, repasemos;
El trinomio se descompone en dos binomios, donde el primer término de ellos será la raíz cuadrada de (20 x)², o sea 20 x.
Cuando el segundo término del trinomio es positivo y tercer término negativo, los binomios conservaran estos signos.

Los segundos términos de los binomios                   

                    serán dos números que multiplicados                 

                    den -120 y que restados den 7.

                   Para facilidad de encontrar estos números 

                   se descompone el número 120 en sus factores

                   primos y se agrupan para encontrarlos.

Para cancelar el denominador factorizamos y simplificamos:

      (4x + 3 ) (5x –  2 )

La expresión factorizada es: 20 x² + 7x – 6 = (4x + 3) (5x – 2).

Ejemplo 2:  Factorizar:  5x ² + 6x + 1.

Cubo de un binomio

         a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³
 
Si analizamos esta fórmula, para factorizar y llegar al producto notable cubo de binomio, es necesario que la expresión algebraica ordenada con respecto a una letra, cumpla con las siguientes condiciones:

• 
  Debe tener cuatro términos.
• 
  El primer y último término tienen que ser cubos perfectos.
• 
  El segundo término tiene que ser (sumado o restado) el triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

• El tercer término tiene que ser sumado el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término.
• 
  Si todos los términos de la expresión son positivos, es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último término, y si los términos son alternativamente positivos y negativos, la factorización será el cubo de la diferencia de dichas raíces.
  
  

Ejemplo:

Factorizar   a³ + 3 a² + 3 a + 1.

Veamos si la expresión cumple con las condiciones para ser un cubo de binomio:
La expresión si tiene 4 términos.
El primer y segundo término, si son cubos perfectos.

• Como la raíz cubica de a³ es a, y la raíz cubica de 1 es 1, reemplazamos estos valores en la ecuación para comprobar si el segundo y tercer término corresponden:

Segundo término: 3 (a)² (1) = 3 a².

Tercer término: 3 (a) (1)² = 3 a.

Como puedes ver, la expresión algebraica cumple con todas las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la factorización es el cubo de la suma de a y 1;

La expresión factorizada es: a³ + 3 a² + 3 a + 1 = (a + 1)³

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

1. Factoriza cada trinomio de la forma ax ²ⁿ + bx ⁿ + c.

a. 7x ² – 8x + 1

b. 5x ⁴ – 16x ² + 3

c. 2x ⁶ + x ³ – 6

d. 8x ⁸ – x ⁴ – 9

e. 3x ⁶ – 3x ³ – 6

• Factorizar

                       8x³ + 12x²z + 6xz² + z³

                       x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones:adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

EJEMPLOS

• Longitud de la circunferencia: , donde  es el radio de la circunferencia.

• Área del rectángulo     A=(b x h)/2, donde b es la base y h la altura

• Ecuación de la circunferencia con centro en el origen:  x²  +  y² = r²   

Cada expresión algebraica separada por un signo + ó un signo – se denomina término.

En una expresión algebraica, las letras son variables o parte literal y los números, que multiplican a una variable , son los coeficientes.Ejemplos:La  expresión  algebraica 5x³y² – 7x²y + 8  tiene tres términos que son  5x³y², – 7x²y , y el número 8.Si la expresión algebraica consta de un solo término se llama monomio.Si la expresión algebraica consta de  más de un  término se llama polinomio.Un polinomio se dice que está ordenado con respecto a una variable si sus grados están en forma descendente o ascendente.

El polinomio se encuentra ordenado de forma descendente respecto a la variable X

Si un polinomio tiene dos términos se le dice también binomio

Si un polinomio tiene tres términos se le dice también trinomio

La mayoría  de situaciones reales que ocurren se presentan mediante expresiones algebraicas

Valor numérico de una expresión algebraica

1

 2

Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Reducción de términos semejantes

Para adicionar o sustraer monomios semejantes,adicionamos o sustraemos algebraicamente sus coeficientes y el resultado lo multiplicamos por la parte literal.

Ejemplo:

Reducir los términos semejantes en la expresión

Solución

Operaciones con polinomios

Adición y sustracción: Es un nuevo polinomio que se obtiene al adicionar los términos de cada polinomio y si existen, reducir los términos semejantes.

Ejemplos:  Sumar los polinomios:

Primero los ordenamos y completamos:

Una vez colocados debidamente, reducimos los términos semejantes:

De igual manera,se procede en la sustracción  de polinomios.

La sustracción se puede expresar como la suma  del minuendo con el opuesto del sustraendo.

Ejemplo:

Si P(x) =   (2x³ + 5x – 3)    y   Q(x)= (2x³ – 3x² + 4x)   Hallar    P(x) − Q(x)

Solución

P(x) − Q(x) =   (2x³ + 5x – 3) − (2x³ – 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x – 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x – 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x – 3

También podemos restar polinomios en forma vertical escribiendo  el minuendo y abajo de este, el opuesto del sustraendo de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2    y     Q(x) = 6x³ + 8x +3

SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación, se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como una sola cantidad.

los signos de agrupación son:

Paréntesis ( )

Corchete

Llaves

Barras

Para suprimir signos de agrupación se debe tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo que tengan cada una de las cantidades que estén dentro de él.
2. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo -se cambia el signo de cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.

Multiplicación 

Para la multiplicación debemos tener en cuenta la ley de los signos y la propiedad de potencias de igual base:

Ley de signos

• La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
• La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa

Propiedad de potencias de igual base:

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 ( 2x³ – 3 x² + 4x – 2) =  6x³ – 9x² + 12x – 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada  uno de los términos del polinomio

3 x²(2x³ – 3x² + 4x – 2) = 6x⁵ – 9x⁴ + 12x³ – 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² – 3    Q(x) = 2x³ – 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² – 3) · (2x³ – 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

La forma vertical es la forma más apropiada para resolver multiplicación de polinomios

División

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ −x – 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.

 

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2  ab + b²

(x + 3)² = x ² + 2  x .3 + 3 ²

              = x ² + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a² − 2  ab + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b (a − b) = a² − b²

(2x + 5)(2x – 5) = (2 x)² − 5² = 4x² − 25

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x – 3)³ = (2x)³ – 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² – 3³ =

= 8x ³ – 36 x² + 54 x – 27

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² – 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6

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GEOMETRÍA(7°)

Construcciones con regla y compás

Los antiguos geómetras griegos utilizaban únicamente el compás  y una regla lisa sin graduar para realizar diferentes tipos de construcciones.Hoy en día es importante aprender a utilizar estos instrumentos para realizar nuestras construcciones cuando no se cuente con instrumentos de medida.

Los pilares estructurales de la matemática son: la definición, el teorema y la demostración.

Las definiciones señalan con precisión los conceptos de importancia en la teoría.

Recordemos las siguientes definiciones:( Def.)

Def. Dos rectas,Segmentos o rayos que determinan ángulos rectos son perpendiculares

Def. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de este.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida.

Los invito a ver el siguiente video.

POLÍGONOS:Son figuras en un plano que pueden estar representadas de diferentes formas.

Ejemplos                                CONVEXOS               CÓNCAVOS

 

TRIÁNGULOS          

Un triángulo es el polígono que resulta de unir 3 puntos con líneas rectas.

Los triangulo se clasifican según sus lados y sus ángulos

Triángulos según sus lados.

Triángulos según sus ángulos

Def. Todo punto de la bisectriz de un ángulo se encuentra a la misma distancia  de los lados del ángulo.

LINEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

Las líneas notables de un triángulo son las bisectrices,las mediatrices, las medianas y las rectas que contienen  alas alturas del triángulo.

Def. Las mediatrices de los lados de un triángulo se intersecan en un mismo punto llamado el circucentro del triángulo.

Def. Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se intersecan en un mismo punto denominado el incentro del triángulo

Los invito a ver el siguiente video.

Def. Una mediana de un triángulo es un segmento con un extremo en un vértice del triángulo y el otro extremo en el punto medio del lado del triángulo opuesto a ese vértice.

Def. Una altura de un triángulo es un segmento con un extremo en un vértice del triángulo,que es perpendicular a la recta que contiene el lado opuesto a ese vértice,y con el otro extremo en esa recta.

Solucionar el siguiente taller y enviar por classroom

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CUADRILÁTERO: Es un polígono de cuatro lados

PARALELOGRAMOS

Son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos, como los siguientes:

Para su construcción, utilizando escuadras y el compás, se puede proceder así:
Primera construcción: Considera los segmentos
M N y RS como los lados conocidos de la figura.

a. Se traslada con el compás el segmento conocido MN sobre una recta

b. Con las escuadras se levantan, perpendiculares desde los puntos M y N:

c. Con una abertura de compás igual a RS, y apoyándose en M, se traza un
arco que corte la línea perpendicular a M, en el punto O:

d. Se repite el trazo anterior, apoyándose en N, para obtener el punto P

e. Se unen los puntos O y P, y queda terminada la figura:

observamos que:

1. La figura construida corresponde a un rectángulo.
2. Sus lados opuestos son paralelos y de igual longitud.
3. Sus cuatro ángulos internos son rectos (tienen una amplitud o medida de 90º).
   

CONSTRUCCIÓN DE PARALELOGRAMOS CON REGLA Y COMPÁS

Cuadrado,rectángulo y rombo

Propiedades de los paralelogramos

1. La diagonal de un paralelogramo define dos triángulos congruentes.
2. Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes
3. Las diagonales de un paralelogramo se intersecan en su punto medio.
4. Pares de ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano se construye con dos  rectas numéricas: una en posición horizontal  y otra en posición vertical, para que sean  perpendiculares.

A estas dos rectas se les llaman  ejes coordenados.

El punto de intersección de las dos rectas es el que corresponde a cero y recibe el nombre de

origen (0,0).

La graduación en los ejes es arbitraria y se determina según se necesite en cada caso.

El eje horizontal se llama eje de las abscisas o eje de las x.

El eje vertical es el eje de las ordenadas o eje de las y.

Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.

Los cuadrantes se simbolizan con números romanos.

El orden de los cuadrantes se establece en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y se inicia en el cuadrante superior derecho.

En el plano cartesiano, se ubican los pares ordenados de números o parejas ordenadas.

Así por ejemplo, si tenemos el par ordenado o la pareja ordenada (2,5), significa que el 2 está en el eje horizontal o eje de las abscisas o eje x, y 5 está en el eje vertical o eje de las ordenadas o eje y.

Esta pareja ordenada de puntos corresponde a Un punto en el primer cuadrante o cuadranteI.            

A ese punto lo llamaremos A y sus componentes 2 y 5 se denominan coordenadas.

El punto siempre es el cruce de las líneas punteadas.

Figuras escondidas – Encontrar el dibujo

Un grupo de amigos nos encontramos una hoja de papel tirada en el suelo. La hoja decía: “este dibujo te dará buena suerte”. Nos quedamos sorprendidos, pues en la hoja no había ningún dibujo, solo una serie de números:

“(1,5), (4,6), (5,9), (6,6), (9,5), (6,4), (5,1), (4,4), (1,5)”. Uno de los compañeros del grupo tiene una tía que es matemática, así que decidimos ir a verla para pedirle que nos ayudara.

Cuando la tía matemática vio los números, sonrió y dijo: “basta un papel cuadriculado para encontrar el dibujo”.

¿Una hoja cuadriculada nada más? Preguntamos. Por suerte yo llevaba el cuaderno de matemáticas, así que rápidamente saqué una hoja y un lápiz.

Luego nos explicó: Lo que he hecho es numerar todas las columnas y todos los renglones de la hoja cuadriculada.Los números que escribí abajo numeran las columnas y los números que escribí a la izquierda numeran los renglones.  Cada pareja de números entre paréntesis representa un punto.

El primer número nos dice en cuál columna está el punto y el segundo nos dice en cuál renglón.

Las columnas se cuentan de izquierda a derecha y los renglones de abajo hacia arriba.

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Concepto

Los movimientos en el plano son transformaciones de figuras geométricas que conservan su forma y su tamaño.

Para describir movimientos de figuras en un plano, se usa la noción matemática de transformación

Una transformación es una correspondencia entre los puntos de un plano, tal que

1. Todo punto del plano tiene imagen
2. Ningún par de puntos tiene la misma imagen
3. Ningún punto tiene dos imágenes

Nuestro interés se concentra en ver el efecto de las transformaciones geométricas como puntos, rectas, o polígonos.

TRASLACIÓN

La traslación es el movimiento de una figura sobre el plano a lo largo de una línea recta, que sigue la dirección y el sentido indicados por un vector. Este movimiento no cambia la forma ni el tamaño de la figura.

Cuando trasladamos figuras geométricas, ubicadas en un plano cartesiano, a cada punto de la figura le hacemos corresponder su punto imagen. Por ejemplo, si trasladamos el punto (x,y), a unidades sobre el eje X y a  unidades sobre el eje Y, el punto imagen de (x,y), es el punto de coordenadas.

 (x+a, y+a), así:

La traslación de una figura en el plano se indica mediante una flecha llamada vector, el cual indica la dirección, la medida y el sentido del movimiento.

Para indicar que un punto en el plano sea trasladado según la indicación hecha por un vector, se emplea la anotación: TAB  (x,y) =(x´, y´).

Para trasladar un polígono en el plano, seguimos los siguientes pasos:

1. Se trazan paralelas al vector dado, que pasen por cada vértice del polígono.
2. Sobre las paralelas construidas, se ubican los vértices de la figura trasladada teniendo en cuenta la dirección y la magnitud indicada por el vector.
3. Se trazan los segmentos que unen los vértices de la nueva figura.

PRACTICA GUIADA

Trasladar el polígono que tiene como vértices los puntos  A: (-8,6),B (-5,8), C(-2,6),D (-4,3), E(-7,3), de acuerdo con el vector FG.

Solución: El vector FG indica que cada vértice de la figura se trasladará 5 unidades a la derecha y 5 unidades hacia abajo.

Coordenadas de los puntos trasladados:

A´ (-8+5,6-5) =  (-3,1)        B´ (-5+5,8-5) =  (0,3) C´ (-2+5,6-5) =  (3,1)

D´ (-4+5,3-5) =  (1,-2) E´ (-7+5,3-5)  = (-2,-2)

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

1. Defina con sus palabras el concepto de traslación.

2. Conteste falso o verdadero:

1. Las figuras geométricas que se trasladan cambian de tamaño   (    )
2. Las figuras geométricas que se trasladan cambian su forma      (    )

3.Traslada el cuadro de la figura cuatro unidades hacia arriba y cuatro unidades hacia la derecha.

4. Trasladar el polígono en el plano cartesiano, que tiene como vértices: A: (4,-1),B (-4,-1), C(-2,3),D (2,-3),  de acuerdo con el vector MN=(5,4).

ROTACIÓN

La rotación es un movimiento del plano determinado por tres factores: Una amplitud, que es el ángulo de rotación y se expresa en grados; una orientación que está determinada por el sentido del ángulo y un centro de rotación que es el punto que se toma como referencia para realizar el movimiento.

Forma de hacer una rotación de una figura en el plano, respecto a un centro de rotación:

1. Trazamos segmentos de recta que unan cada uno de los vértices de la figura con el centro de rotación.
2. Construimos un ángulo tomando como vértice el centro de rotación y lado inicial uno de los segmentos trazados en el paso anterior, de acuerdo con la amplitud y la orientación dada por el ángulo.
3. Realizamos el mismo procedimiento con los demás vértices de la figura.
4.  Sobre el lado final se ubican los vértices de la nueva figura, teniendo en cuenta que la distancia del centro de rotación al vértice de la figura inicial sea igual a la distancia del centro de rotación al vértice de la figura rotada.
5. Trazamos la imagen de la figura uniendo con segmentos los vértices encontrados.

Rotar el cuadrilátero ABCD un ángulo de 135° en sentido de las manecillas del reloj, tomando como centro de rotación el origen del plano cartesiano. Las coordenadas de los puntos son:

   A: (-6,4),            B (-4,6),    C(4,8)     y     D (0,2). Solución: Se deben seguir los pasos descritos anteriormente

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

1.Responder las siguientes preguntas

a) Que se necesita conocer para realizar una rotación de una figura

b) Que significa hacer una rotación en sentido positivo

c) Que significa hacer una rotación en sentido negativo

2. Hallar la imagen que se produce al rotar cada figura respecto al punto P y el ángulo dado

Rotar el cuadrilátero ABCD un ángulo de 120° en sentido de las manecillas del reloj, tomando como centro de rotación el origen del plano cartesiano (las coordenadas de acuerdo con la gráfica).          

REFLEXIÓN

La reflexión de un punto A en el plano, respecto a una recta, consiste en ubicarlo al otro lado de la recta o eje de reflexión, de manera que el segmento que une al punto A y su imagen A´ sea perpendicular al eje de reflexión y la distancia entre el punto y su imagen al eje de reflexión sea igual.

Para reflejar un polígono en el plano cartesiano, respecto a un eje de reflexión,

Se procede de la siguiente forma:

1. Trazamos rectas perpendiculares al eje de reflexión, por cada uno de los

Vértices del polígono.

1. Sobre las perpendiculares construidas ubicamos las imágenes de los vértices de la figura al otro lado del eje de reflexión, copiando su distancia con el compás.
2. Trazamos los segmentos que unen los vértices de la nueva figura.

                                       PRACTICA GUIADA

  Reflejar el polígono de vértices     A: (-10,-2),   B (-6,4),    C(-2,2), respecto a la recta que pasa por los puntos      D (2,4) y  E (0,-4).

1. Ubicamos los puntos D(2,4) y  E (0,-4) en el plano cartesiano y trazamos la recta que los une.                       

Luego trazamos perpendiculares a esta recta que pasen por los puntos A, B  y C , respectivamente.

2.Con el compás medimos la distancia de cada punto a la recta y marcamos esa misma distancia, sobre las perpendiculares, al otro lado del eje.

3.Construimos la figura imagen, trazando los segmentos    A´B´,    B´C´ ,  A´C´  que son las imágenes de los segmentos AB,    BC ,  AC de la figura inicial.

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

1. Utiliza la figura, en la cual el eje de reflexión es el eje X, para ubicar el punto y pareja ordenada

de acuerdo con cada enunciado.

a. La imagen de A es   b. La imagen de C es

c. La imagen de M es d. La imagen de P es

2. Reflejar el polígono de vértices     A: (-6,6),   B (-5,2),    C(-2,4), respecto a la recta que pasa por los puntos      D (4,5) y  E (4,-2).

3. Dibuje un polígono en un plano cartesiano y realice una reflexión

CUARTO PERÍODO

SIMETRÍA

Muchos de los conceptos de geometría se pueden apreciar en la mayoría de los objetos de nuestro entorno. En varios de ellos es posible reconocer algunas propiedades como la simetría.

SIMETRÍA AXIAL

Cuando hablamos de simetría pensamos en figuras u objetos que al ser divididos en dos partes iguales éstas coinciden; esta clase de simetría se conoce como simetría axial.

Observa detenidamente cada dibujo que aparece a continuación y describe las similitudes que ves entre las partes de cada uno:

Si las figuras anteriores se calcan y doblan por la línea punteada, se observa que sus puntos coinciden, uno a uno, de un lado y otro del doblez.

Una figura es simétrica si existe coincidencia de sus puntos de una

 mitad con la otra, al tomar como referencia una línea que

 recibe el nombre de eje de simetría:

Pero también dos figuras iguales son simétricas respecto a un eje

 si al unir un punto de una figura con el correspondiente de la otra,   

 la línea es perpendicular a dicho eje. Esto se aprecia al ver reflejada

una imagen en un espejo.

De esa forma se puede concluir que simetría axial es la coincidencia de partes, líneas o puntos, uno a uno y a distancias iguales de una línea que recibe el nombre de eje de simetría.

 Las figuras que no tienen eje de simetría reciben el nombre de asimétricas.

Las figuras simétricas pueden tener uno, dos, tres, cuatro o más ejes de simetría. Por ejemplo, el círculo puede tener un número infinito de ejes de simetría, ya que cualquier recta que pase por su centro lo divide en dos partes que coinciden al colocar una sobre la otra.

PRACTICA GUIADA

En la siguiente figura, a cada punto del lado izquierdo, con respecto al eje de simetría, le corresponde un punto  a la misma distancia, pero del lado derecho, de donde  se corresponden los puntos: A con A’, B con B’, C con C’, D con D’, E con E’ y F con F’. Estos puntos se dicen que son homólogos.

Al unirse estos puntos se obtienen segmentos perpendiculares al eje de simetría y paralelos entre sí.

  De esa forma, midiendo la distancia de cada punto al eje de simetría y marcándolo del lado contrario a este, es posible reproducir un dibujo hasta tener una figura simétrica.

A los puntos que se corresponden entre sí en dos figuras que coinciden totalmente en todas sus partes se les llaman puntos homólogos.

Propiedades de la simetría axial

 Analicemos el ejemplo siguiente:

a. Los puntos homólogos A y A’, C y C’, etc., se encuentran a la misma distancia (equidistan) del eje de simetría m.

b.Los segmentos de recta que unen a las parejas de puntos  homólogos AA’, BB’, etc., son perpendiculares al eje de simetría m.

c. Los segmentos que se trazaron para obtener los pares de  puntos homólogos, AA’, CC’, etc., son paralelos.

d. Los segmentos de recta que son simétricos, AD y A’D’, AB y A’B’, etc., coinciden si se dobla por el eje.

e. Los ángulos simétricos son iguales: ABC = A’B’C’ y BCD = B’C’D’.

f. El orden en que están situados los puntos de la figura original es opuesto al de su figura homóloga.

GEOMETRÍA 6°

Euclides. Padre de la geometría

Es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio. Estas propiedades pueden ser las relaciones entre puntos, líneas, ángulos, planos, figuras, y la manera cómo se miden.

NOCIONES BÁSICAS

En geometría  se llaman nociones básicas  a tres conceptos que no se definen formalmente y a partir de los cuales se puede construir  todos los demás conceptos geométricos. Ellos son punto, recta y plano.

Concepto de punto

PUNTO. Corresponde a la figura más simple que se estudia en geometría.No tiene dimensión ni medida y se entiende como la marca que deja la punta de un lápiz.Se simboliza con una letra mayúscula.                                               

RECTA. Es una figura geométrica en una dimensión formada por infinitos puntos que se prolongan en sentidos opuestos; se nombra usando una letra minúscula o nombrando dos de sus puntos.

  PLANO. está formado por infinitos puntos que se extienden por todas las direcciones; no tiene fronteras pero su representación se hace  dibujando una figura de cuatro lados.  Para nombrar un plano se usan las letras de tres puntos que se encuentren en él y que no se encuentren en la misma recta.

Algunos objetos que nos rodean pueden utilizarse para representar figuras geométricas. La superficie de un tablero puede considerarse la parte de un plano; el borde de un computador como la de una porción de recta; las esquinas de una hoja de cuaderno pueden representar los puntos.

RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS                                                                                                                                                                                             

Dos puntos cualesquiera del plano determinan una única recta que pasa por ellos.

SEMIRRECTA: Es una parte de la recta que tiene un punto de origen y se prolonga indefinidamente en un sentido.

SEGMENTO: Es una parte de la recta que tiene dos puntos extremos                                

En la  representación el punto 0 divide a la recta en dos partes: La semirrecta  es la parte de la recta que contiene al punto B y la semirrecta  es la parte de la recta que contiene al punto A. Se determinan también

los segmentos 

POSTULADOS

Los postulados son afirmaciones que se aceptan como ciertas sin demostraciones Postulado 1. Dados puntos, existe exactamente una recta que los contiene.

Postulado 2. Dos rectas se cortan en un único punto

Postulado 3. Si dos puntos de una recta están en un plano toda la recta está en el plano.

Postulado 4. Si dos planos tienen puntos en es, su intersección es una recta.

SEGMENTOS Y RAYOS

Puntos colineales: Tres o más puntos son colineales si existe una recta que los contiene.

Puntos colineales

Puntos no colineales

Segmentos congruentes: Dos o más segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS CONGRUENTES

RAYO:  Podemos pensar de un rayo como una línea “recta” que comienza en un punto determinado y se extiende para siempre en una dirección.

El punto O es el origen del rayo

Diferencia entre semirrecta y rayo

Si ubicamos un punto en una recta este la divide en dos;cada una de ellas es una semirrecta, pero este punto no pertenece a ninguna de las dos. Cuando se hace referencia a un rayo el punto inicial si pertenece.

Rayos opuestos: Dos rayos son opuestos si son colineales y solo comparten el origen

ÁNGULOS

Un ángulo es una figura geométrica formada por dos rayos no colineales que tienen el mismo origen, llamado vértice.

Un ángulo es una figura geométrica formada por dos rayos no colineales que tienen el mismo origen, llamado vértice.

Un ángulo se puede determinar en términos de la rotación de una semirrecta sobre su origen. Donde empieza la rotación se llama lado inicial y donde termina, es el lado final o terminal ,y su origen se llama vértice.

Un ángulo se nombra usando una letra griega dentro del ángulo,o también con tres letras mayúsculas, de manera que la letra del medio esté situada en el vértice.

En la figura se forman tres ángulos.

Medida de ángulos: La medida de un ángulo se llama amplitud  y se mide en grados y radianes. En este curso trabajaremos con grados.

Grado.  Es la abertura de un ángulo que se obtiene al dividir una circunferencia en 360 ángulos iguales; es decir cada uno de los 360 ángulos es un grado.

La figura muestra una circunferencia indicando los 360 ángulos iguales,además señala un ángulo que tiene 10 grados(10°)

Esta circunferencia recibe el nombre de transportador y la utilizamos para la medición de ángulos.

Los invito a ver el siguiente video, sobre como medir ángulos.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Los ángulos se clasifican según su medida,su posición y su suma.

Ángulos según su medida.

Ángulos según su suma.

Ángulos según su posición.

Los invito a ver un resumen de lo visto

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida

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Segundo  período (Rectas paralelas y  rectas perpendiculares,Triángulos y sus propiedades, Cuadriláteros y sus características,Polígonos, clasificación y propiedades.   

       RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES     

DBA 4  (Utiliza y explica diferentes estrategias(desarrollo de la forma o plantillas)e instrumentos(regla, compás o sofware) para la construcción de figuras planas y cuerpos.

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

Construye plantillas para cuerpos geométricos dadas sus medidas.
Selecciona las plantillas que genera cada cuerpo a partir del análisis de su forma, sus caras y sus vértices.

Utiliza la regla no graduada y el compás para dibujar las plantillas de cuerpos geométricos
cuando se tienen sus medidas.

            

  Dos rectas son paralelas cuando por más que se prolonguen nunca se cortan. La    distancias entre sus puntos son las mismas.

               

Dos rectas son paralelas cuando por más que se prolonguen nunca se cortan. Las rectas m y n  son paralelas y se representa

Dos rectas que forman ángulos rectos se denominan    perpendiculares.Las rectas m y n son perpendiculares y se representa

CONSTRUCCIÓN DE RECTAS PARALELAS 

Cuando iniciamos el curso trazamos el punto medio de un segmento;  la recta que pasó por este punto es perpendicular a la recta que se le halló el punto medio.

ahora el siguiente video  explica la forma de trazar dos rectas paralelas.

                                  

Propiedad de las rectas. Si dos rectas coplanares (que se encuentran en el mismo plano) son perpendiculares a la misma recta,entonces las dos rectas son paralelas.

 TRIÁNGULOS

Def.  Dados tres puntos no colineales, la unión de los tres segmentos que conectan los puntos es un triángulo.Los puntos se llaman vértices del triángulo y los segmentos lados del triángulo.

Triángulos según sus lados:

Triángulos según sus ángulos:

Propiedades de los triángulos

P1. En un triángulo,la suma de las longitudes de cualquier par de lados es mayor que la longitud del tercer lado.

Un ángulo interior de un triángulo lo forman dos lados.

P2. En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180°

A + B + C = 180º

Los ángulos con color rojo son los ángulos internos y los ángulos con color verde son externos.

Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.

 

CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es una figura plana cerrada que tiene cuatro lados.

Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales.

Definiciones:

Def.1 Dos lados de un cuadrilátero son opuestos si no se intersecan.

Def.2 Dos lados son consecutivos si comparten un extremo.

Def.3 Dos ángulos son opuestos si solo comparten dos vértices del cuadrilatero.

Def.4 Dos ángulos son consecutivos si comparten un lado del cuadrilatero.

Clasificación de los cuadriláteros:

Características de los cuadriláteros

Trapezoide: No tiene lados paralelos.

Trapecio: Tiene dos lados paralelos.

Romboide: No forman ángulos rectos, tiene sus ángulos y sus lados iguales dos a dos.

Deltoide: Cada lado tiene exactamente un lado adyacente congruente y ningún par de                        lados opuestos son congruente.

Rombo: Sus cuatro lados son congruentes.

Rectángulos: Tiene los cuatro ángulos rectos.

Cuadrado: Tiene los cuatro ángulos rectos y los cuatro lados congruentes.

La diagonal de un cuadrilátero es un segmento con extremos en dos vértices opuestos del cuadrilátero.

Un cuadrilátero es convexo si sus diagonales solo tienen puntos del interior del cuadrilátero.Todos sus ángulos interiores son menores a 180°

Un cuadrilátero no es convexo si alguna diagonal tienen puntos  que no estén en el interior.

Los polígonos no convexos reciben el nombre de polígonos cóncavos.

la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es 360°

POLÍGONOS

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano.​ Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se interceptan se llaman vértices.

Clasificación de los polígonos

Nombre de algunos polígonos de acuerdo al número de lados

Def. Una diagonal de un polígono es un segmento con extremos en dos vértices no consecutivos del polígono.

Def. Un polígono es convexo si sus diagonales contienen  solo puntos del interior del polígono.

De acuerdo al número de triángulos que se forman en un polígono se puede  hallar una formula para la suma de las medidas de los ángulos de un polígono convexo.

Veamos como:

En cada caso, el número de triángulos que se forma es 2 menos que el número de lados.Ese número, multiplicado por 180°, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono.Se concluye la siguiente propiedad:

Si un polígono convexo tiene n-lados,entonces, la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a  (n-2) x 180°.

POLÍGONOS REGULARES

Def. Un Polígono es regular si sus ángulos y lados son congruentes. 

Hallemos la medida de cada ángulo interno de un octágono regular.

Aplicando la formula anterior se tiene:

(n-2) x 180° = (8 – 2) x 180° = 6 x 180° = 1080°

Como los ángulos son congruentes, entonces, cada ángulo mide

1080° ÷ 8 = 135°

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Elementos de un polígono regular:Los elementos de un polígono regular son los siguientes:

Centro: Punto que se equidista de los vértices.

Radio:Cualquier segmento que une el centro con un vértice

Apotema: Cualquier segmento que une el centro con el punto

medio de un lado.

Ángulo central: Cualquier ángulo determinado por dos radios.

Todo polígono regular se puede inscribir en una circunferencia.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

 Para construir polígonos regulares a partir del radio de la circunferencia circunscrita,se divide esta en el mismo número de partes como lados tenga el polígono y se unen los puntos de división de la circunferencia.

PENTÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

PASOS:

1. Dibujamos la circunferencia en la que vamos a inscribir el pentágono, en nuestro caso de radio 3 cm.
2. Dibujamos sus dos diámetros perpendiculares usando la escuadra y el cartabón.
3. Hacemos centro de compás en el punto 1 con radio 3 cm. y obtenemos los puntos 2 y 3.
4. Uniendo los puntos 2 y 3 obtenemos el punto 4, que es el punto medio del radio de la circunferencia.
5. Hacemos centro de compás en 4 con radio hasta donde el diámetro vertical nos corta a la circunferencia y hacemos un arco, obteniendo 5.
6. Ya hemos obtenido el lado del pentágono inscrito.
7. Tomamos radio de compás el lado del pentágono inscrito y vamos marcando los vértices del pentágono en la circunferencia.
8. Una vez obtenidos los vértices del pentágono, sólo nos queda unirlos.

HEXÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

PASOS:

1. Dibujamos la circunferencia en la que vamos a inscribir el hexágono, en nuestro caso de radio 3 cm.
2. Dibujamos sus dos diámetros perpendiculares usando la escuadra y el cartabón.
3. Hacemos centro de compás en el punto 1 con radio 3 cm. y donde ese arco se corta con la circunferencia obtenemos dos vértices del hexágono.
4. Hacemos centro de compás en el punto 2 con radio 3 cm. y donde ese arco se corta con la circunferencia obtenemos otros dos vértices del hexágono.
5. Los otros dos vértices del hexágono son los puntos 1 y 2.
6. Una vez obtenidos los vértices del hexágono, sólo nos queda unirlos.

 HEPTÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

PASOS:

1. Dibujamos la circunferencia en la que vamos a inscribir el heptágono, en nuestro caso de radio 3 cm.
2. Dibujamos sus dos diámetros perpendiculares usando la escuadra y el cartabón.
3. Hacemos centro de compás en el punto 1 con radio 3 cm. y obtenemos los puntos 2 y 3.
4. Uniendo los puntos 2 y 3 obtenemos el lado del heptágono inscrito.
5. Tomamos radio de compás el lado del heptágono inscrito y vamos marcando los vértices del heptágono en la circunferencia.
6. Una vez obtenidos los vértices del heptágono, sólo nos queda unirlos.

 OCTÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

PASOS:

1. Dibujamos la circunferencia en la que vamos a inscribir el pentágono, en nuestro caso de radio 3 cm.
2. Dibujamos sus dos diámetros perpendiculares usando la escuadra y el cartabón.
3. Ya tenemos la circunferencia dividida en 4 partes.
4. Para dividirla en 8 partes, no tenemos más que hacer las bisectrices de los 4 ángulos de 90º en que está dividida la circunferencia.
5. Una vez obtenidos los vértices del octógono, sólo nos queda unirlos.

ENEÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

PASOS:

1. Dibujamos la circunferencia en la que vamos a inscribir el pentágono, en nuestro caso de radio 3 cm.
2. Dibujamos sus dos diámetros perpendiculares usando la escuadra y el cartabón.
3. Hacemos centro de compás en el punto 1 con radio 3 cm. y obtenemos el punto 3.
4. Hacemos centro de compás en el punto 2 con radio 3 cm. y obtenemos el punto 4.
5. Hacemos centro de compás en el punto 5 con radio hasta el punto 4 y dibujamos un arco.
6. Hacemos centro de compás en el punto 5 con radio hasta el punto 3 y dibujamos otro arco.
7. Donde esos dos arcos se cortan obtenemos el punto 7.
8. Hacemos centro de compás en el punto 7 con radio hasta el punto 1, que coincide con el 5, y dibujamos un arco.
9. El lado del eneágono inscrito es la distancia que queda desde donde ese arco nos corta al diámetro de la circunferencia hasta la circunferencia.
10. Tomamos radio de compás el lado del eneágono inscrito y vamos marcando los vértices del eneágono en la circunferencia.
11. Una vez obtenidos los vértices del eneágono, sólo nos queda unirlos.

DECÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

PASOS:

1. Dibujamos la circunferencia en la que vamos a inscribir el decágono, en nuestro caso de radio 3 cm.
2. Dibujamos sus dos diámetros perpendiculares usando la escuadra y el cartabón.
3. Hacemos centro de compás en el punto 1 con radio 3 cm. y obtenemos los puntos 2 y 3.
4. Uniendo los puntos 2 y 3 obtenemos el punto 4, que es el punto medio del radio de la circunferencia.
5. Hacemos centro de compás en 4 con radio hasta donde el diámetro vertical nos corta a la circunferencia y hacemos un arco, obteniendo 5.
6. Él lado del decágono inscrito, es la distancia desde 5 hasta el centro de la circunferencia.
7. Tomamos radio de compás el lado del decágono inscrito y vamos marcando los vértices del decágono en la circunferencia.
8. Una vez obtenidos los vértices del decágono, sólo nos queda unirlos.

DECÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

PASOS:

1. Dibujamos la circunferencia en la que vamos a inscribir el decágono, en nuestro caso de radio 3 cm.
2. Dibujamos sus dos diámetros perpendiculares usando la escuadra y el cartabón.
3. Hacemos centro de compás en el punto 1 con radio 3 cm. y obtenemos los puntos 2 y 3.
4. Uniendo los puntos 2 y 3 obtenemos el punto 4, que es el punto medio del radio de la circunferencia.
5. Hacemos centro de compás en 4 con radio hasta donde el diámetro vertical nos corta a la circunferencia y hacemos un arco, obteniendo 5.
6. Él lado del decágono inscrito, es la distancia desde 5 hasta el centro de la circunferencia.
7. Tomamos radio de compás el lado del decágono inscrito y vamos marcando los vértices del decágono en la circunferencia.
8. Una vez obtenidos los vértices del decágono, sólo nos queda unirlos.

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PLANO CARTESIANO

Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares y graduadas,Una horizontal y una vertical, denominadas ejes de coordenadas, que dividen el plano en cuatro cuadrantes. A continuación, veamos las partes  del plano Cartesiano.

• El punto de intersección de los ejes es el origen de coordenadas.
• El eje horizontal se llama abscisas o eje X.
• El eje vertical recibe el nombre de ordenadas o eje Y.
• Los puntos del plano se indican dando sus coordenadas.

Una pareja ordenada es una representación numérica que consta de dos números escritos en orden específicos. La notación (X,Y) representa la pareja ordenada donde su primer elemento es X la pareja ordenada donde su primer elemento es X

La coordenada x indica el desplazamiento sobre el eje horizontal X. Si el valor es positivo el desplazamiento se

realiza hacia la derecha del origen de coordenadas tantas unidades como indique el número; Si es negativo, las unidades se contarán hacia la izquierda de dicho punto.

La coordenada y corresponde al desplazamiento sobre el eje Y; hacia arriba si el número es positivo o hacia abajo si es negativo. El punto de referencia es el origen de coordenadas

Ejemplo: Representar en el plano cartesiano los siguientes puntos:

(-3,2), (0,4), (2,3).(3,0),(-4,-3) y (2,-3).

Desarrollar la siguiente actividad

1. Ubicar en el plano cartesiano los siguientes puntos: a.(0,2)       b. (-3,4)        c. (–5,-3)   d. (6,-2)        e.  (0.-4)       e.  (5,0) 
2. .Escribe las coordenadas de los puntos representados en el siguiente plano

ECUACIONES

Definamos antes el término «Expresión algebraica»

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. EJEMPLOS

• Longitud de la circunferencia: , donde  es el radio de la circunferencia.

• Área del tríángulo       

                    donde b es la base y h la altura

       

• Ecuación de la circunferencia con centro en el origen:  x²  +  y² = r²   

 

Entendiendo el concepto de expresión algebraica iniciamos con ecuaciones

                                                             ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o varias cantidades desconocidas

llamadas  incógnitas. La parte izquierda de la ecuación es el primer miembro y la parte derecha es el segundo miembro

Toda ecuación de la forma:   a x + b = c,  Donde  a,b  ∈  R   y  a ≠ 0 se llama ecuación de primer grado o ecuación lineal.

Resolver una ecuación implica encontrar el valor de la incógnita que satisface la igualdad. Ese valor es la solución .

Para resolver una ecuación lineal, primero adicionamos el opuesto de b a ambos miembros de la ecuación

y después multiplicamos por el recíproco de a a ambos miembros de la ecuación.Luego la transformamos en una ecuación

equivalente a la inicial,hasta despejar la incógnita utilizando las propiedades de la adición y de la multiplicación.

Ejemplos:

Solucionar la siguientes ecuación:

5x  –  20  = 120

5x – 20 + 20 = 120 + 20      Adicionamos el opuesto de – 20 a ambos miembros de la ecuación.                

5x –  [  (20 +( – 20) ] = 140              Aplicamos la propiedad asociativa.

5x   –  0 = 140                          Aplicamos la propiedad  invertiva  de la adición.    

5x = 140                              Aplicamos la propiedad modulativa de la adición    

(1/5)5x = (1/5)140                      Multiplicamos por el inverso multiplicativo de 5

(1/5 .5)x = 140/5                     Aplicamos la propiedad asociativa de la multiplicación

1.x      = 28                   Aplicamos la propiedad del inverso  multiplicativo

x = 28                     Aplicamos la propiedad modulativa de la multiplicación

El proceso anterior muestra claramente la aplicación de las propiedades vistas en los números reales para la solución.

En la practica se utiliza la transposición de términos

Para la solución por este método  se puede atender al concepto de ecuaciones equivalentes:

Dos ecuaciones son equivalentes si al resolverlas se obtiene el mismo resultado.

Tomando esta definición y tratando de resumir las propiedades de las desigualdades, se podrían derivar las siguientes “reglas”:

• Lo que esté sumando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro
• restando.
• Lo que esté restando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro sumando.
• Lo que esté multiplicando en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro dividiendo.
• Lo que esté dividiendo en un miembro de la igualdad “pasa” al otro miembro multiplicando.
• La división por cero ( 0) sólo tiene solución cuando el cero( 0) está en el numerador.

Resolvamos nuevamente el  ejercicio anterior, teniendo en cuenta estas reglas:

5x  –  20  = 120

5x = 120 + 2O      -20  Pasó al miembro derecho a sumar

5X = 140                se efectuó la suma

X  = 140/5             5 pasó a dividir

X =   28                 Se efectuó la división

Para saber hacer la prueba, se remplaza el valor hallado en la ecuación original

si se verifica la igualdad, indica que el valor hallado es la solución de la ecuación, es decir el valor que la hace verdadera.

Prueba:

5x  –  20  = 120

5(28) – 20 =120

140  – 20 = 120

120      =    120

Se verifica  que el resultado del miembro izquierdo es igual al del miembro derecho.

Ejemplo 2

Hallar el valor de x

9x – 14 – 3x = 6 + 2x – 8

9x –  3x – 2 x = 6 – 8 + 14   Agrupamos términos semejantes

4x = 12

x=12/4     →  x = 3

Los invito a ver el siguiente vídeo.

PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Muchas situaciones de la vida diaria  pueden plantearse en términos de ecuaciones y por tanto, una vez planteadas,pueden resolverse.

El éxito alcanzado para resolver un problema , depende de la habilidad que se adquiera en la traducción del lenguaje usual a un lenguaje matemático.

Veamos algunos  Ejemplos

LENGUAJE  USUAL                                                                            LENGUAJE MATEMÁTICO

El doble de un número   aumentado en 3 equivale a  253                             2x = 253

Las tres cuartas partes de un número aumentado en 5  equivale a 25      3/4x+5= 25

El triple de un número disminuido en 2  es igual a  28                              3x – 2 =   28

10 más el doble de un número equivale a 35                                              10 + 2x = 35

 

APLICACIONES

Pasos para resolver ecuaciones

1.   Leer cuidadosamente el problema.Determinar cuales son las cantidades conocidas y cuales las buscadas.
2.   Escoger una variable que represente el valor buscado en el problema.3
3.  Leer nuevamente el problema y plantear  una ecuación que represente la ecuación ente los datos del problema.
4.  Resolver la ecuación.
5.  Comprobar la solución  con el planteamiento inicial del problema.

Ejemplo

Un estudiante gasta la mitad de su dinero en el descanso y una cuarta parte en transporte. Si al final queda con $6000

¿Cuanto dinero tenía?

1.La cantidad conocida es lo que le quedó:  $6000    y   la desconocida es el dinero que tenía

2. Llamaremos  x  a la cantidad  de dinero que tenía ,    x/2,dinero gastado en el descanso,

y        x/4 ,dinero  que gastó en transporte

3. Después de hacer sus gastos le quedó:

x – x2 +x/4                 ⇒               x – x/2-x/4=6000

4. Solución de la ecuación

5. El estudiante le quedó $ 8.000

Para más problemas resueltos ver el siguiente vídeo:

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NÚMEROS FRACCIONARIOS

 

 Una fracción es una expresión de la forma  a/b en donde a y b son números naturales.
La letra a representa el numerador y la letra b representa el denominador.

El denominador, es el número que indica las partes en que se ha partido la unidad.
 
El numerador, es el número que indica las partes o unidades fraccionarias tomadas de la unidad.

Ejemplo: 

La fracción es representada por la parte coloreada

      

La fracción como un cociente. 

Una fracción también se puede interpretar como un cociente indicado, de tal forma que el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. 
Por ejemplo. 
Para partir 3 tortas entre 4 personas, se divide cada torta en 4 porciones iguales, con lo cual, a cada persona le corresponde 3 de esas porciones; 

es decir; el cociente de dividir 3 entre 4 es 3 ¸4 y se puede escribir ¾.
 
Ejemplos  Representar gráficamente las siguientes fracciones:    

              a. 5/6                                       b. 7/2

Solución

El video siguiente  nos aclara algunos conceptos sobre fracción,los invito a que lo miren y regresar a la clase.

https://www.youtube.com/embed/c84cJod54a4&list=PLHwz3md30-3kYnqg3_R4Y4jluYpkrOD_D?list=PLHwz3md30-3kYnqg3_R4Y4jluYpkrOD_D

     

                                                    NÚMEROS MIXTOS                            

  Por ser mayor que la unidad, las fracciones impropias se pueden escribir como la suma de un número natural con una fracción propia. 

 Ejemplo: 

 

3 unidades completas y  2/3 es: 3 + 2/3. Se ha tomado 3 unidades completas, más 2/3 de la cuarta unidad.

Un número mixto consta de dos partes: una parte entera y una fraccionaria, así:

Conversión de una fracción a número mixto. 

Para transformar una fracción en un número mixto, se divide el numerador entre el denominador.

El cociente de la división es la parte entera del número mixto y, el residuo, es el numerador de la parte fraccionaria.

 
Por ejemplo, para convertir a mixto  la fracción 13/3 se procede de la siguiente manera:                

                                                                             

  

Conversión de un número mixto a fracción.    

Para expresar un número mixto  como fracción, se procede así: 
1. Se multiplica la parte entera por el denominador de la fracción. A este producto se le suma, el numerador de la fracción.
2. el resultado anterior es el numerador de la nueva fracción, y como denominador, se escribe el mismo denominador de la

fracción que forma parte del número mixto.

Ejemplos:

     

FRACCIONES EQUIVALENTES.

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma porción de la unidad.

Por ejemplo:  1/2, 2/4  y  4/8 Son fracciones equivalentes.

Miremos mediante dibujo estas equivalencias:

Las  parte coloreada de azul de las tres gráficas representan la misma cantidad      

                                                                            OPERACIONES CON FRACCIONARIOS

 Adición de fracciones con igual denominador

Al sumar fracciones con igual denominador se obtiene un fraccionario donde su numerador es la suma de los numeradores y el denominador es el mismo de los sumandos.

Ejemplos:

   

Sustracción de fraccionarios con igual denominador     

Para restar fraccionarios con igual denominador se efectúa la diferencia de los numeradores y se deja como denominador al mismo de los sumandos.

Ejemplos:

Suma y sustracción de fraccionarios con distinto denominador

Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se aplica la siguiente formula:

Ejemplos:

  

                                               MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Para multiplicar fracciones , se aplica la siguiente formula:

Se multiplican los numeradores con numeradores y denominadores con denominadores

Ejemplos

                                                      DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Para dividir fracciones , se aplica la siguiente formula:

Para dividir un número fraccionario por otro, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.

Ejemplos:

Operaciones combinadas de adición y sustracción.

Los invito a ver los siguientes videos y luego regresar a la clase

Dar clic aquí →     https://www.youtube.com/watch?v=HKz0OB5imBM

                             https://www.youtube.com/watch?v=jvNr-n3KZ5A

                             https://www.youtube.com/watch?v=EjRIiKxV_Xk

CONJUNTOS

 NOCIÓN DE CONJUNTO

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, parcelas, ejercito,familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común,ya sean números, personas, figuras, cosas…

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto.

Por ejemplo si se considera el conjunto de los números pares , sabemos que el 6 pertenece al conjunto, pero el 9 no.

si se habla de un conjunto de vacas, en este  no de debe haber un perro.

 

Los objetos que forman un conjunto son llamados  elementos. Por ejemplo el conjunto; a, b, c, …, x, y, z. Forman el conjunto de de las letras de alfabeto;
que se puede escribir así:

               A =  { a, b, c, …, x, y, z}

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas : A, B, C,…  y sus elementos  con minúsculas:a,b,c… por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoño, invierno }

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({ })  y separados por comas (,).
El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina denotación por extensión. 
También es posible denotar el conjunto determinando la característica de  los elementos del conjunto quien determina si un elemento pertenece o no a él. Ésta forma recibe el nombre de denotación por comprensión, donde utilizamos la notación {x / x es….}   (se lee  Conjunto de las x tales que x es…)

Ejemplos
A ={ x/x es una letra del alfabeto español} (Denotación por comprensión)

A = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,g,r,s,t,u,v,w,x,y,z} (Denotación por extensión)

          

D = { x / x es un número dígito}  (Denotación por comprensión)

D   =  { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }      (Denotación por extensión)                 

            TIPOS DE CONJUNTOS 

CONJUNTO VACÍO: Es el que no tiene elementos

Ejemplos

A={x / x es un estudiante del Instituto Moderno Americano que pesa 400 kilos}
F= { x/x es un ser humano que mide 4 metros  }

CONJUNTO UNITARIO: Es el que tiene un solo elemento

Ejemplo:

R={x / x es un satélite natural de la tierra}     «El único satélite natural de la tierra es la luna»
M={x / x es capital del departamento del Meta}    «La capital del departamento del Meta es  Villavicencio»

CONJUNTO FINITO: Es aquel que tiene una cantidad determinada de elementos, es decir tienen fin.

Ejemplo:

 T={x / x es un departamento de Colombia}  » Colombia tiene 32 departamentos»

CONJUNTO INFINITO:Es aquel que tiene una cantidad indeterminada de elementos, es decir sus elementos no tienen fin.

Ejemplo:

Z={x / x es un número natural}   «los números naturales son infinitos»

E={x / x es una estrella}  «

      IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

 Ejemplos:

1.    El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, {c, a, b }, { c, b, a} 

2.           M=  {x / x es un color primario }
  N= {x / x es un color de la bandera de Colombia }
Los conjuntos M y N son iguales

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }. 

El símbolo ∈ indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, se utilizará el símbolo  ∉.
Ejemplo:
Sea   B ={ a, e, i, o, u },      a  ∈ B      y     c ∉  B

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SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos B = { 0, 1, 2, 3, 5, 8 }    y    A = { 1, 2, 5 }

En este caso decimos que A esta contenido en B, porque
los elementos de A están también en B; o que A es subconjunto de B.
En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A lo es de B también.
Por lo tanto si A es un subconjunto de B  se escribe A ⊆ B.
Como vemos el conjunto A está contenido en el conjunto B

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, éste conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si sólo queremos referirnos a los  números dígitos el conjunto  U queda:
U={0, 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9 },  se dice entonces que A={2,4,6 }   y  B= {1,3,5,8},están
contenidos en el conjunto U que se toma como referencia.

Por ejemplo, al denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto de los números naturales (N) y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología:
A = { x/x∈ N ; x < 60 } » Se lee A es el conjunto de las x tales que x pertenecen a los naturales y x es menor de 60

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números naturales (N) entre 20 y 35 el conjunto quedaría de la siguiente manera:

A = { x/x ∈ N ; 20 ≤ x ≤ 35 }    » Escrito por comprensión»   
A = { 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35 }    » Escrito por extensión»

   OPERACIONES CON CONJUNTOS

 UNIÓN 

                   
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A U B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A  U B = { x/x  ∈  A ó x ∈  B o a ambos}
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 }      y    B={ 10, 11, 12 }
A  U  B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

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INTERSECCIÓN

                             
La intersección de dos conjuntos A y B la denotaremos por A∩ B,es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.

Sean  A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 3, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 3,4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A∩B, algebraica mente se escribe así:
A∩B = { x/x ∈ A y x ∈ B }  «se lee: A intersección B es el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k }   y  P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }   luego,   Q ∩ P={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTOS DISYUNTOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos disyuntos o conjuntos ajenos.

COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A.

y se denota como A’ y que se representa por comprehensión como:
A’={ x / x ∈ U y x ∉A }.  También se dice que A’ son todos elementos que les faltan al conjunto A para ser el universal. 

Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
El complemento de A está dado por:
A’= { 2, 4, 6, 8 }

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DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A–B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A – B={ x/x  ∈  A ; X ∉B }

    

Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y  B= { a, b, c, g, h, i }
A – B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B – A el resultado es
B – A = { g, h, i }     » los elementos que están en B y no en A.»
 

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DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn  se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo.
Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

   

Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas.

Veamos estos vídeos:

REGIONES Y NÚMERO DE ELEMENTOS

NÚMERO DE ELEMENTOS.

Si A es un conjunto, se denota  n(A) al número de elementos de A
Ejemplos:
A= {x / x es un planeta del sistema solar}    n(A)=9
R={x / x es un mes del año}    n(R)= 12
H={x / x es un número primo par}         n(H) = 1  «El único número par y primo es el 2 »
Si se dan dos conjuntos disyuntos A y B,entonces el número de elementos de la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de ellos,es decir:
n(A U B)= n(A) + n(B)
Ejemplo
A={a,b,c,d}   B= {e,f,g }  entonces  n(A U B)= 4+3 = 7  » la suma de los elementos de (A U B) es 7″
Si los conjuntos no son disyuntos es decir tienen elementos en común entonces el número de elementos de A U B
n(A U B)= n(A) + n(B)  –   n(A ∩ B)

Ejemplos

1.   A= {a,b,c,d,e,f,g}   B= {e,f,g,h,i,j, }

  n(A U B)= n(A) + n(B)  –   n(A ∩ B)
=   7    +     6     –      3                            
                 =        13           –      3 
                 =     10                          

 » la suma de los elementos de (A U B) es 10 «

2.  Una clínica tiene 100 pacientes, 20 tienen dolores estomacales, 30 tienen dolor de cabeza y 17 tienen los dos síntomas.

¿Cuántos pacientes tienen solo dolores estomacales?

¿Cuántos pacientes tienen solo dolor de cabeza?

Solución:

Sea E el conjunto de pacientes que tienen dolores estomacales y sea C los pacientes con dolor de cabeza

              n(E U C)= n(E) + n(C)   –   n(E ∩ C)
                             =   20    + 30    –     17  
                             =   50                –     17 
                             =    33   

La suma de los pacientes con dolor estomacal y/o de cabeza es 33

Veamos la información más detallada utilizando diagramas a través del siguiente vídeo.

EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA DE CONJUNTOS

1. Dados los conjuntos:

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B= { 0, 2, 4 }  y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a)  A U C      b)  B U C        c)  A U B

Solución
a)  A ={ 0, 1, 2, 3, 4, 5 }   y   C = { 5, 6, 8 }   A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8 }

b)   B = { 0, 2, 4 }  y   C = { 5, 6, 8 }           B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8}

c)  A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }  y  B = { 0, 2, 4 }        A U B = {0 , 1, 2 , 3, 4, 5 }

INTERSECCIÓN
2. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 },   B = { 3, 5, 7 }  y            C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A ∩  C          b) B ∩ C           c) A ∩ B

Solución:
a)      A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }    Entonces      A ∩ C = {2 ,4 }

b)     B ={ 3, 5, 7 } y C= { 2, 4 }    Entonces B ∩ C = {  }   «No hay elementos en común»

c)  A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }   y    B = { 3, 5, 7 }  Entonces   A ∩  B = {3 ,5 }

DIFERENCIA

3. Dados los conjuntos: A ={ a,b,c,d,e }, B = { a,e } y   C = { d,f,g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A – C
b) B – C
c) A – B

Solución:
a)   A = { a, b, c, d, e }   y   C = { d, f, g }   Entonces   A – C = { a, b, c, e }
b)  B = { a, e }        y     C = { d, f, g }  Entonces         B – C = { a, e }
c) A = { a, b, c, d, e }   y      B = { a, e }   Entonces  A-B= { b, c, d }

COMPLEMENTO
Dados los conjuntos referencia:
U={x/x los números dígitos}  y  A =  {x/x los números dígitos pares},
Determinar A´

Tendremos:
U =  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A =  {2, 4, 6, 8}    Luego   A´ =  {0, 1, 3, 5, 7, 9}

Sean U = { m, a, r, t, e }      y       A = { t, e }
el complemento de A es: A’ ={m,a,r}

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TEORÍA DE NÚMEROS

Todo número lo podemos expresar como un producto

Ejemplos:
42 = 6 x 7                                                     39 = 13 x 3
↓        ↓                                                            ↓        ↓
Factores de 42                                            factores de 39

 Observemos

                               _{6 y 7 son                                                             3 y 13 son}
42 ÷ 6   =   7      _divisores                               39 ÷ 13 =     3         _divisores
42÷ 7  =     6      ^{de 42}                                    39 ÷ 3  =    13         ^{de 39}

Estos ejemplos nos llevan a concluir:
Si 6 y 7 son factores de 42 equivale a decir que  6 y 7 son divisores de 42
Si 13 y 3 son factores de 39  equivale a decir que 13 y 3 son divisores de 39.
Generalizado: Decimos que a es divisor de b  si  b ÷ a es un cociente exacto.
    
Ejemplos:     9 es divisor de 72 porque  9 x 8 = 72 ,luego se cumple que  72÷9= 8
13 es divisor de 65  porque  13x 5 = 65 ,luego se cumple que  65÷13=5

Hallemos todos los divisores de 32:
Divisores de 32 = {1, 2, 4, 8, 16, 32}

Ejercicio: hallar los divisores de 48,100 y 30
Solución
a. 48= {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}
b. 100={1,2,4,5,10,20,25,50,100}
c.   30={1,2,3,5,6,10,15,30}

Nota.  El UNO es el único número natural que tiene un solo divisor.

Número primo: es el número natural que tiene solamente dos divisores, como: 5, 11, 13, etc.
 
Número compuesto:Es el número natural que tiene más de dos divisores, como: 4, 6, 8, 21, etc.

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL

Sea   N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 . . .,}

Para hallar los múltiplos de 2, se multiplica el 2 por cada uno de los números naturales

M(2)={2×1, 2×2 ,2×3 ,2×4 ,2×5 , 2×6,…}={2, 4, 6, 8, 10, 12. . .}

Para hallar los múltiplos de 3, se multiplica el 3 por cada uno de los números naturales

M(3) ={3×1, 3×2, 3×3, 3×4, 3×5, 3×6, 3×7,…} ={ 3, 6, 9, 12, 15, 18,21. . .}

Para hallar los múltiplos de 4,se multiplica el 4 por cada uno de los números naturales

M(4)={4×1, 4×2, 4×3, 4×4, 4×5, 4×6,…} =  { 4, 8, 12, 16, 20, 24. . .}

Para hallar los múltiplos de un número natural a, se multiplica el número a por cada uno de los números naturales

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2

Observemos el conjunto de los múltiplos de 2

Múltiplos de 2 = {0, 2, 4, 6, 8,10,…32,….128,…}

Todos son pares y terminan en número par.
Luego,

Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es cero o par

Son divisibles por 2: 874, 2148, 110,5676
No son divisibles por 2: 381, 15, 237,4529

Divisibilidad por 10

Al observar  el conjunto de los múltiplos de 10

Múltiplos de 10 = {0, 10, 20,30,… 820,… 1210}

Todos terminan en cero.

Luego:

Un número es divisible por 10 si su última cifra es cero

Ejemplo: son divisibles por 10: 870, 21480, 730,1650

No son divisibles por 10: 101, 223, 475,6879
 
Divisibilidad por 5
Múltiplos de 5  = {0, 5, 10,15,…25,40,…}
Vemos que todos los números terminan en cero o en cinco

Luego:

Un número es divisible por 5 cuando su última cifra es 0 ó 5

Ejemplo: son divisibles por 5:   30, 45, 625, 840,1200
No son divisibles por 5: 21, 346, 8963,14768

Divisibilidad por  3
Si observamos

Múltiplos de 3 = {0, 3, 6, 9,12,…18,…24,…285,…}

Vemos  que:
12  →      1+2  = 3    Si sumamos las cifras el resultado es múltiplo de 3
18  →      1+8  = 9    Si sumamos las cifras el resultado es múltiplo de 3
24  →      2+4 =  6    Si sumamos las cifras el resultado es múltiplo de 3

Luego:  Un número es divisible por 3, cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 

Ejemplo:
81 es divisible por 3, ya que 8+1 = 9   y  9 es múltiplo de 3
123 es divisible por 3, ya que 1+2+3 = 6 y 6 es múltiplo de 3

Divisibilidad por 4
Al observar:   Múltiplos de 4 = {0, 4, 8, 12,16,…128,…256,…300}

Cualquier número que tenga dos o más cifras, son divisibles por 4 todos los números cuyas dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4

Luego:  
Ejemplo: son divisibles por 4: 7600, 1204,9836
No son divisibles por 4: 1066, porque  66 no es múltiplo de 4
2030 porque 30 no es múltiplo de 4
Divisibilidad por 6 
Al observar: Múltiplos de 6 = {0, 6, 12, 18,24,…606,…666,..}
Vemos que todos los múltiplos de 6 son divisibles por 2 y por 3
Luego:
 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3
Ejemplo: son divisibles por 6: 12, 18, 336,4236
No son divisibles por 6: 15, 272, 418,339 
 

ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR

 1.  Exprese como producto los números:

 a.               38 =

b.              86 =

c.            132 =

 2.Hallar los 5 primeros múltiplos de los números:

 a.                8 =

b.                12 =

c.                15 =

d.               20 =

3. Hallar los divisores de:

 

a.            60 =

b.           50 =

c.           180 =

d.          64 =

 4. Explique y 2 ejemplos cuándo un número es divisible por 3.

 5. Explique y 2 ejemplos cuándo un número es divisible por 6.

 

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS

Todos los números naturales compuestos se pueden descomponer en factores primos
Interpretemos los siguientes ejemplos

a)  46  = 2 x 23   →  2  y  23  son números primos
b)  34  = 2 x  17  →   2  y 17  son números primos
c ) 24 = 2 x 12
= 2 x (2 x 6)
= 2 x 2 x 2 x 3
= 2³ x 3  →  2 y 3  son números primos                                                            

Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos

Regla para hallar los factores primos de un número compuesto.

Se escribe el número a descomponer y seguido de el se hace una recta vertical, luego se hacen divisiones sucesivas  del número por los números primos que permitan que la división de exacta.
Explicaremos este procedimiento mediante un ejercicio

MÁXIMO COMÚN DIVISOR  (MCD)

El máximo común divisor de dos o más números es el número mayor que los divide exactamente.Veamos unos ejemplos

Consideremos los números 16 y 24
Los números que dividen a 16:             D₁₆ = {1, 2 , 4, 8,16}
Los números que dividen a 24:             D₂₄  = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,24}

Los divisores comunes a 16 y 24: 1, 2, 4, 8

El mayor de los divisores comunes es 8, por lo tanto este número es el (MCD)

Hallemos el MCD de    9, 27, 81

Divisores de 9:         D₉  = {1, 3, 9}
Divisores de 27:       D₂₇ = {1, 3, 9, 27}
Divisores de 81:       D₈₁ = {1, 3, 9, 27, 81}

Divisores comunes: 1, 3, 9
El mayor de los divisores comunes  9, por lo tanto 9   es el MCD.
 
PROCEDIMIENTO ABREVIADO PARA HALLAR EL MCD.

a)  Hallar MCD. De  48, 72 y 144

Solución:Se descomponen los números simultáneamente,hasta no encontrar divisores comunes

   b)    Hallar  MCD. de  (70, 105,140)

Solución. Se descomponen los números simultáneamente

 Vemos el siguiente vídeo explicativo para hallar el MCD de forma practica

Dar clic aquí

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de esos números
Consideremos los números  3 y 5

Los múltiplos de 3:  M₃ =  {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39..}
Los múltiplos de 5:  M₅ =  {5,10,15,20,25,30,35,40,45…}
Los múltiplos comunes de 3 y 5: 15, 30

El menor de los múltiplos es 15.  Este número es el mcm de 3 y 5

Hallar el mcm de  (10, 12,15)

Múltiplos de 10:={ 10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130, . . .}
Múltiplos de 12:  =  {12,24,36,48,60,72,84,96,108,120, . . .}
Múltiplos de 15:  ={15,30,45,60,75,90,105,120, . . .}
Múltiplos comunes de 10, 12, y 15: 60, 120

Luego  mcm (10,12,15)=60  (Es el múltiplo común mas pequeño)

Procedimiento abreviado para hallar el mcm

Ejemplo1. Hallar el mcm (25, 30, 50)

Solución. Se descomponen los tres números dados así.

 El mcm (25, 30, 50)  =  2 x 3 x 5²  = 150

Ejemplos 2: hallar el mcm(10, 12,15)

   El mcm (10, 12, 15)  =  2² x 3 x 5 = 60

Vemos el siguiente vídeo explicativo para hallar el mcm de forma practica.

Aplicaciones del mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Juan  y Pedro comen en la misma pizzeria, pero Juan asiste cada 20 días y Pedro cada 38. ¿Cuándo volverán a encontrarse?

Si mañana empezamos a contar los días, entonces:

• Juan asiste el día 20, el día 40, el día 60… Estos días son los múltiplos de 20.
• Y Pedro asiste el día 38, el día 76, el día 114… que son los múltiplos de 38.

Ambos coinciden cuando asisten el mismo día, es decir, cuando asisten un día que es múltiplo de 20 y de 38. Además, el primer día que coinciden es el mínimo de los múltiplos comunes.

Por tanto, debemos calcular el mínimo común múltiplo.

Descomponemos los números para escribirlos como producto de potencias de números primos:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, volverán a encontrarse dentro de 380 días.

En un vecindario, un camión de helados pasa cada 8 días y un food truck pasa cada dos semanas. Se sabe que 15 días atrás ambos vehículos pasaron en el mismo día.

Raúl cree que dentro de un mes los vehículos volverán a encontrarse y Oscar cree esto ocurrirá dentro de dos semanas. ¿Quién está en lo cierto?

Primero calculamos cada cuánto coinciden los vehículos sin tener en cuenta la última vez que coincidieron. Para ello, debemos calcular el m.c.m. de 8 y 14.

Factorizamos los números:

El m.c.m. se calcula multiplicando los factores «comunes y no comunes al mayor exponente»:

Por tanto, los vehículos coinciden cada 56 días. Pero como el primer día que coincidieron fue hace 15 días, el próximo encuentro será dentro de 56-15 = 41 días.

Luego ni Raúl ni Oscar tienen razón.

Don Luis quiere pintar sucasa . Según sus cálculos, necesitará 12 litros de pintura roja, 24 litros de pintura verde y 16 litros de pintura blanca. Pero quiere comprar botes de pintura que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible, ¿de cuántos litros debe ser cada bote y cuántos botes de cada color debe comprar Máximo.

Solución

Las sumas de los litros de los botes de color rojo, verde y blanca deben ser 12, 24 y 16, respectivamente. Como todos los botes deben tener la misma capacidad, dicha capacidad debe dividir a 12, 24 y 16. Además, como quiere tener la mínima cantidad de botes, cada bote debe tener capacidad máxima. Por tanto, tenemos que calcular el M.C.D. de 12, 24 y 16.

Factorizamos los números:

El M.C.D. se calcula multiplicando los factores «comunes al menor exponente»:

Por tanto, cada bote debe tener una.

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