UNIDAD 1: NÚMEROS REALES

 LOS NÚMEROS REALES

Recordemos como se conforman los principales conjuntos numéricos

          N={ 1,2,3,…   }      (Números naturales)

         No={ 0,1,2,3,.. }   (Números naturales con el cero)

          Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,.. } (Números enteros)

         Q={ m/n: m y n є z y n ≠ 0 } ( Números Racionales)

          I{ números decimales infinitos no periódicos   } (Números irracionales)

Mapa conceptual de los Números reales

Mapa conceptual de los Números Reales

Números Reales en diagrama

Crecimiento de los Números Reales

Propiedades de los números Reales

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.

Sean a,b,c \in \mathbb {R}, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad Adición Multiplicación
Cerradura a+b \in \mathbb {R} a \cdot b \in \mathbb {R}
Conmutativa  a+b=b+a  a \cdot b=b \cdot a
Asociativa   a+(b+c)=(a+b)+c  a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c
Distributiva  a \cdot (b+c)=(a \cdot b) + (a \cdot c)
Identidad   a+0=a  a \cdot 1=a
Inverso  a+(-a)=0  a \cdot \left ( \frac{1}{a} \right )=1

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real.  Por ejemplo:

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2+7=9, \; \;  9 \in \mathbb {R}

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2 \cdot 7=14, \; \;  14 \in \mathbb {R}

Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la sustracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2-7=-5, \; \;  -5 \in \mathbb {R}

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:

6+7=7+6=13

6 \cdot 7=7 \cdot 6=42

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la sustracción o la división, pues el resultado se altera.

6-7  \neq 7-6

\frac {6}{7}  \neq \frac {7}{6}

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

3+(4+5)=(3+4)+5=12

3 \cdot (4 \cdot 5)=(3 \cdot 4) \cdot 5=60

Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

3-(4-5) \neq (3-4)-5

3 \div (4 \div 5) \neq (3 \div 4) \div 5

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar  las operaciones aritméticas.

3 \cdot (4+5)=(3 \cdot 4) + (3 \cdot 5)=27

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:

25+0=25, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:

25 \cdot 1=25, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

28+(-28)=0   el inverso aditivo para esta suma es el número -28

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

5 x 1/5 = 1

Como un ejemplo de aplicación de las propiedades tenemos la solución de ecuaciones. Cuyo proceso pretende transformar la ecuación a otra ecuación equivalente que tenga de un lado los términos que incluyen a la variable y del otro lado los valores constantes.

Ejemplo: 

Resuelva la ecuación 7x – 4 = 3x + 8, aplicando las propiedades de los números reales

ecuaciones

De esta manera encontramos que la solución es 3. Para verificar la respuesta sustituimos x = 3 en la ecuación original

sol 3

DIAGRAMA DE EXPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS

Para combinar  números reales que involucran negativos, utilizamos las propiedades siguientes:

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NEGATIVOS

TALLER 1:  NÚMEROS REALES

Responder V si es verdadero o F si es falso y justificar la respuesta

a.   Todo número entero es racional

b.   Cualquier número racional tiene expresión decimal periódica

c.   Cero no es número racional

d.   Ningún número racional es irracional

e.   0/5 es un número entero

f.    Cualquier número racional o irracional es número entero

g.   Todo número racional es número entero

h.   Cualquier número entero es número natural.

2. Colocar x en la tabla según corresponda el número al conjunto dado.

taller

3.   Ubicar en la recta real los siguientes números

-7/4       62/9        0,8     4/9      53/7 √18

4.   Dar un ejemplo para cada propiedad de los números reales

5.   En la siguiente demostración hay un error ¿Cuál es?

Si x = y      se tiene:

x² = x y  (multiplicando ambos lados de la ecuación por x)

x² – y² = xy – y²   (restando y² a ambos lados de la ecuación)

(x – y)(x + y) = y (x – y) (factorizando ambos lados de la ecuación)

x + y = y     (Dividiendo ambos lados de la ecuación por (x – y))

2y = y      (como x = y se reemplaza)

2y / y = y / y   (Dividiendo ambos lados de la ecuación por y)

2 = 1,        éste resultado es inconsistente

6 .El perímetro de un campo rectangular es 500 metros. Encontrar las dimensiones del campo si la longitud del campo es 12 metros más que el ancho.

 terreno rectangular

         
1.2 LEY DE TRICOTOMÍA
Sean dos números reales a y b, ubicados en la recta real, entonces sólo puede ocurrir una de las siguientes situaciones:
1. Que a < b y en este caso a se encuentra a la izquierda de b
a menor que b
2. Que a > b y en este caso a se encuentra a la derecha de b
GRA 2
3. Que a = b y en este caso a se encuentra en la misma posición de b
IGUAL
1.3  INTERVALOS EN LA RECTA REAL
Dados dos números a y de la recta real, tales que a < b , se define intervalo de extremos a y b al subconjunto de números reales comprendidos entre a y b.
1.3.2 CLASES DE INTERVALOS
INTERVALO ABIERTO

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

                                            (a, b) = {x Pertenece Erre / a < x < b}

recta

INTERVALO CERRADO
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x Pertenece Erre / a ≤ x ≤ b}

recta

INTERVALO SEMIABIERTO A LA IZQUIERDA

Intervalo semiabierto a la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x Pertenece Erre / a < x ≤ b}

rceta

INTERVALO SEMIABIERTO A LA DERECHA

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x Pertenece Erre/ a ≤ x < b}

recta

INTERVALOS AL INFINITO

(a, ∞)  = {x Pertenece Erre /  x > a }

semirrecta

[a, ∞) = {x Pertenece Erre / x ≥ a }

x mayor o igual que a

(-∞, a) = {x PerteneceErre /  x < a}

x menor que a

 (-∞, a] = {x Pertenece Erre /  x ≤ a}

x menor o igual que a

1.3.3 OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN

La  unión de los conjuntos  A y  B es el conjunto de todos los elementos de  A con todos los  elementos de  B sin repetir ninguno y se denota como  A∪ B . Esto es:
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INTERSECCIÓN

La  intersección de los conjuntos  A y  B es el conjunto de los elementos de  A que también  pertenecen a  B y se denota como  A ∩ B . Esto es:
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Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen  nada en común. Por ejemplo:
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DIFERENCIA

La  diferencia de los conjuntos  A y  B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a  A y no pertenecen a  B y se denota como  A − B . Esto es:
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DIFERENCIA SIMÉTRICA

La  diferencia simétrica de los conjuntos  A y  B es el conjunto de los elementos que pertenecen a  la unión entre A y B pero no pertenecen a  la intersección entre A y B, se denota como  A Δ B . Esto es:
DIFERENCIA SIMÉTRICA
DIF SIM II

dif  sim3

COMPLEMENTO

El complemento del conjunto  A con respecto al conjunto universal  U es el conjunto de todos los  elementos de U que no están en  A y se denota como  A’ . Esto es:
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1.3.4   OPERACIONES CON INTERVALOS

Consideremos los intervalos:

A = [ -3, 5 )            B = ( – ∞, 1)             C = [ – 1, 7 )                  D = [ 0, ∞ )

Hallar:

a. A U B =  [ -3, 5 ) U  ( -∞. 1 ) = ( – ∞, 5 )

UNION

b. C ∩ D = [ -1, 7 ) ∩ [ 0, ∞ ) = [ 0, 7 )

INTERSECCION 2

c.  C – A =  [ -1, 7 ) – [ -3, 5 ) = [ 5, 7 )

DIFERENCIA

d.  B Δ D = ( -∞, 1 ) Δ  [ 0, ∞ ) =  ( –∞, 0 ) U [ 1, ∞ )

diferenecia sim ii

e.   A’ = [ –3, 5 )’ = ( – ∞, – 3 ) U [ 5, ∞ )

complemento 2

TALLER 2: INTERVALOS

DEFINICIÓN DE DESIGUALDADES

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notación a < b significa a es menor que b; a se encuentra a la izquierda de b

La notación a > b significa a es mayor que b; a se encuentra a la derecha de b

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como “estrictamente menor que” o “estrictamente mayor que“.

  • La notación ab significa a es menor o igual que b;
  • La notación ab significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7
menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2.  Un intervalo.

Ejemplos

1.    2x − 1 < 7     2x-1+1 <

2x < 8     x < 4

solución

(-∞, 4)

2.      2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

solución

(-∞, 4]

3.      2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

solución

(4, ∞)

4.      2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8     x ≥ 4

solución

[4, ∞)

Escoge la opción correcta:

1La representación gráfica Graf_x>7corresponde a…

todos los números mayores que siete.

todos los números mayores o iguales que siete.

todos los números mayores que siete incluido el infinito.

2La expresión x < 5 se lee…

todos los números mayores que cinco.

todos los números menores que cinco.

todos los números mayores o iguales que cinco.

3La representación Graf_x<-3 es equivalente a la expresión…

x ≤ −3

−3 ≤ x

x < 3

4 La representación Graf_x>=-5 es equivalente a la expresión…

x ≥ −5

x ≤ −5

−5 < x

5La representación Graf_x<=1 es equivalente a…

1 < x

x ≥ 1

1 ≥ x

6La expresión 2 ≤ x se refiere a…

cualquier número mayor que dos incluido este.

cualquier número mayor que dos.

cualquier número menor que dos incluido este.

TALLER DESIGUALDADES

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