LÍMITE DE FUNCIONES

LÍMITE DE FUNCIONES

Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto C, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los valores de x se acercan al valor C. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando las x tienden a C.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto c = 2.

x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

se concluye entonces que el limite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2 es 4

El límite de una función en un punto si existe, es único.

Ejemplos

1. Función a trozos

Límites laterales

limite por la izquierda

limite por la izquierda

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

2. función

limite por la izquierda

limite por la derecha

Como no coinciden los límites laterales,la función no tiene límite en x = 0.

Generalicemos ahora para una función f cualquiera

Teniendo en cuenta la gráfica definimos el concepto de límite:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  \varepsilon > 0 \; existe un  \delta > 0 \; tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon.

Propiedades de los límites

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de Expresión
Una constante  \lim_{x \to c} k =\, k,\, donde\, k\in \R \,
La función identidad  \lim_{x \to c} x = \, c \,
El producto de una función y una constante  \lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,
Una suma  \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,
Una resta  \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,
Un producto  \lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,
Un cociente  \lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,
Una potencia  {\lim_{x \to c}  f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0
Un logaritmo  {\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}
El número e  {\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal  {\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0.

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere \infty \,\! como el límite que tiende a infinito y 0 \,\! al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación
Sustracción \infty - \infty
Multiplicación \infty \cdot 0
División \cfrac{\infty}{\infty}, \cfrac{0}{0}
Elevación a potencia 1^\infty, \infty ^0, 0^0
Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

límite

Es decir para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

Cálculo del límite en un punto

Cálculo del límite en un punto

Cálculo del límite en un punto

No podemos calcular límite porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular límite, porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= R − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

función a trozos.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:límite

Por la derecha:Limite

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:límite

Por la derecha:límite

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

 EJERCICIOS

Calcular los siguientes límites

 1.                Límite

2                 Límite

3.                Límite

4.                  Límite

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