SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

sistema

La solución de un sistema es un par de números x1, y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Ejemplo:

     sistema  La solución para este sistema es:   x = 2, y = 3  veamos la prueba           solución

 Métodos para solucionar sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Método de sustitución

Sistemas ecuaciones

Método de reducción

Sistemas ecuaciones lineales

Método de igualación

Sistemas ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales de 2×2/Sustitución

Ejemplo 1

Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones mediante sustitución:

3X + Y = 22
4X - 3Y = -1
PASO 1

Despejamos una variable de cualquier ecuación. En este caso, despejaremos la Y de la primera ecuación:

3X + Y = 22
Y = 22 - 3X
PASO 2

Reemplazamos el valor de Y que acabamos de obtener en la otra ecuación, y simplificamos la ecuación:

4X - 3Y = -1
4X - 3(22-3X) = -1
4X - 66 + 9X = -1
13X - 66 = -1
PASO 3

Despejamos la variable que nos queda (en este caso, X):

13X - 66 = -1
13X = -1 + 66
13X = 65
  X = 65/13
  X = 5
PASO 4

Ya obtuvimos el valor de X. Sabemos que Y = 22 - 3X (fue el primer despeje que hicimos, ¿recuerdas?), así que

Y = 22 - 3X
Y = 22 - 3*5
Y = 22 - 15
Y = 7

Y listo. Tenemos entonces la solución al sistema de ecuaciones:

X = 5
Y = 7

SISTEMAS 2X2

EJERCICIOS  RESUELTOS

1)         sistema

2x + 4y = 16 despejar 3x – 4y =- 6 ecuación ecuación ecuación solución solución 2) sistema ecuación ecuación ecuación 3) sistema sistema sistema solución sistema 4)

sistema sistema sistema ecuación ecuación ecuación 5)

sistema ecuación ecuación ecuación ecuación
 SISTEMAS 3X3
 EJERCICIOS RESUELTOS
1) PENDIENTE
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0   con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula: fórmula

Ejemplos
1. ecuaciçon solución 2. ecuación solución 3) ecuación Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1). solución ecuación solución

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

1. ax2 = 0

La solución es x = 0.

Ejemplos
ecuación ecuación

2. ax2 + bx = 0

Extraemos factor común x: ecuación Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero. solución solución

Ejemplos
1. ecuación ecuación solución solución 2. ecuación solución solución solución

3. ax2 + c = 0

1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo. 2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo. 3. Se efecúa la raí cuadrada en los dos miembros. solución

Ejemplos
1. ecuación ecuación 2. ecuación solución Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1)

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. Edad actual flecha x Edad hace 13 años flecha x − 13 Edad dentro de 11 años flecha x + 11 ecuación ecuación solución Edad actual flecha 21 2)

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. esquema Semiperímetroflecha 55 Base flecha x Altura flecha 55 − x x · (55 − x) = 750 x2 − 55x + 750 = 0 x = 25      x = 30 Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m . 3) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m². esquema 1er lado (base)flecha 3x 2º lado (altura) flecha 4x 3er lado flecha 5x ecuación solución 1er lado flecha 6 m
 4)
Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². esquema (50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540 4x2 + 168x − 540 = 0        x2 + 42x − 135 = 0 x = 3 y x = −45 La anchura del camino es 3 m .
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