1. ANGULOS

Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas unidas en un solo punto fijo llamado vértice. Cuando estas rectas interactúan separándose o atrayéndose una de la otra forman un arco (s) que delimita una región denominada longitud de arco. Dentro de la formación de un angulo uno de las semirectas se denomina lado inicial mientas la otra lado final. A medida que van formando el arco sea nulo o tenga una medida y suelen nombrarse con letras mayúsculas ( A, B, C, …) o con letras del alfabeto griego:

Como se puede observar en la gráfica  los lados de un angulo se señalan con letras mayúsculas en donde las nomenclaturas también usadas son:

-con tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es el vértice ABC  por ejemplo.
Según como se oriente la interacción entre las semirectas este puede tener dos valores diferentes:
Un angulo se considera en posición normal si un lado de esta se encuentra sobre el eje x del plano cartesiano y ademas su vertice se encuentra en el origen de este, el tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitada.  Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales , estos ángulos se llaman ángulos coterminales.
Como el angulo barre un arco y este se limita mediante una longitud se suele hacer la medida de este mediante dos sistemas: en grados radianes.
MEDICIÓN EN GRADOS
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600).  Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10).  El símbolo “0” denota grados. Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700  y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y). Un grado dividido en 60 partes iguales da origen al minuto (`), y un minuto dividido en 60 partes iguales da lugar a los segundos.

Grado °, Minuto ´, Segundo ´´, 1° = 60´ = 3600´´, 1´ = 60´´

De este modo existe mayor exactitud de un angulo al expresarlo en grados, minutos y segundos. Un ángulo se puede expresar en forma decimal o en forma compleja. Por ejemplo, el ángulo 47,8º está expresado en forma decimal; el ángulo 20º 5’ 32’’ está en forma compleja y se diría que este ángulo mide 20 grados, 5 minutos y 20 segundos. La conversión de una forma a otra, se puede realizar de forma sencilla utilizando reglas de tres.

ejemplo: 

1. ¿Cuántos grados son 12º 48’ 30’’?  (habrá que pasar todo a grados)

12º 48’ 30’’ = 12º + 48’ en grados + 30’’ en grados

12°+(48/60)+(30/3600)=
12 + 0.8 + 0.0083= 12.80083º .
2. Escribe en forma compleja 265.63º.
 265.63º = 265º + 0.63º (hay que ir pasando la parte decimal a la unidad siguiente).
0.63° * 60′ = 37.8 entonces 37′
0.8 * 60 = 48″
luego 265.63° = 265° 37′ 48″

Sistema Cíclico

Este sistema se forma y define de la manera siguiente: en una circunferencia cualquiera se señala un arco de longitud igual al radio de la circunferencia y se trazan los radios correspondientes a cada extremo del arco; el àngulo central que forman estos dos radios se llama radián; el radián se divide decimalmente, es decir, en décimos, centésimos, milésimos, etc. Así,

El radian es el ángulo central subtendido por un arco igual
a la longitud del radio del círculo

Conversión de medidas de ángulos

Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco de igual longitud al radio del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián y equivale a  57.296º.

Image:Radian.png \text {1 radian = }\frac{180^\circ}{\pi} = 57.296^\circ

Como puedes observar, en 360° caben exactamente:

6 radianes completos + 0.283 de radian, es decir: 6.283 radianes:(6.283rad\cdot 57.296^{\circ} ) = 360^{\circ}

El uso de radianes en vez de grados ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

1) Para convertir de grados a radianes, se multiplica por \pi\,\! y se divide entre 180º; y se simplifica. Es decir:

\text {rad =}\text{ grados }\cdot\frac{\pi}{180^\circ}

2) Para convertir de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre \pi\,\!; y se simplifica. Es decir:

\text {grados =}\text{ rad }\cdot\frac{180^\circ}{\pi}

Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes

Grados Radianes
Image:Grados_.png Image:Radianes.png

De ahí que:

0^\circ =  0 \mbox{ rad}
90^\circ =  \frac {\pi}{2} \mbox{ rad}
180^\circ = \frac {2\pi}{2}= \pi \mbox{ rad}
270^\circ =  \frac {3\pi}{2} \mbox{ rad}
360^\circ =  \frac {4\pi}{2}= 2\pi\mbox{ rad}

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

EJEMPLO A: Convertir 38° a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

Despejamos x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 0.6632 radianes

EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 137.5099°



Refuerza tus conocimientos practicando en:  http://www.amolasmates.es/flash/medida_angulos.html

http://www.educaplus.org/play-10-Transportador.html

TALLER 1: ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDIDAS

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