1. NÚMEROS ENTEROS

Como ya viste existe un grupo de números que es utilizado especialmente para contar  la matemática por lo vanidosa que es se ve al espejo y ve en el que los números se reflejan, al igual como lo haría el uso del espejo. De esta manera el espejo hace veces de elemento neutro, mientras que el reflejo de los numero denominados “naturales” se tornan negativos y nace así un nuevo conjunto numérico “números enteros”. Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI  mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema.Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes,  que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras.  Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o – . De esta manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero permiten expresar valores positivos y también valores negativos. En la expresión escrita de un número entero consideramos dos partes: el signo y el valor absoluto.  El conjunto de los números enteros le nombramos con la letra Z Z={  … -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, … … } El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y en sentido de los positivos. Los números naturales están incluidos en los números enteros, son los enteros positivos. Es conveniente buscar la forma más simple de expresar un número, por eso, para escribir un número entero positivo es preferible no poner el signo + y dejarlo en forma de número natural.

Representación gráfica de números enteros. A los números enteros los representamos mediante puntos sobre una recta, para ello debemos fijar la posición del punto 0 y la largura del segmento unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el valor del número. Los números positivos los colocamos a la derecha y los negativos a la izquierda. Si la recta está en vertical colocamos los positivos arriba y los negativos abajo. PLANO CARTESIANO El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas. Ejemplo: Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. El punto A se ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en ordenada (y).

cartesiano003

Operaciones con números enteros

Suma de números enteros

1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común. 3 + 5 = 8 (−3) + (−5) = − 8 2. Si números enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto. − 3 + 5 = 2 3 + (−5) = − 2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna: a + b Pertenece enteros 3 + (−5) Pertenece enteros 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) · (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)] 5 − 5 = 2 + (− 2) 0 = 0 3. Conmutativa: a + b = b + a 2 + (− 5) = (− 5) + 2 − 3 = − 3 4. Elemento neutro: a + 0 = a (−5) + 0 = − 5 5. Elemento opuesto a + (-a) = 0 5 + (−5) = 0 −(−5) = 5

Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a – b = a + (-b) 7 − 5 = 2 7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna: a − b Pertenece enteros 10 − (−5) Pertenece enteros 2. No es Conmutativa: a – b ≠ b – a 5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

signos 2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 2 · (−5) = − 10 (−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna: a · b Pertenece enteros 2 · (−5) Pertenece enteros 2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] 6 · (−5) = 2 · (−15) -30 = -30 3. Conmutativa: a · b = b · a 2 · (−5) = (−5) · 2 -10 = -10 4. Elemento neutro: a ·1 = a (−5)· 1 = (−5) 5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5 (−2)· 8 =- 6 – 10 -16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c) (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. 10 : 5 = 2 (−10) : (−5) = 2 10 : (−5) = − 2 (−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna: (−2) : 6 No perteneceenteros 2. No es Conmutativo: a : b ≠ b : a 6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a0 = 1 · a1 = a a· a = am+n (−2)·(−2)= (−2)5+2 = (−2)7 = −128 a: a = am – n (−2): (−2)= (−2)5 – 2 = (−2)3 = −8 (am)= am · n [(−2)3]2 = (−2)6 = 64 a· b = (a · b) n (−2)· (3)= (−6) 3 = −216 a: b = (a : b) n (−6)3 : 3 = (−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

potencia

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo. signo El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número. radicando negativo

Operaciones combinadas con números enteros

Prioridades en las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.. 2º.Calcular las potencias y raíces. 3º.Efectuar los productos y cocientes. 4º. Realizar las sumas y restas.

Problemas de números enteros

1. Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió?

Solución:

14 − (−63) = 14 + 63 = 77 años

2. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?

Solución:

48 − (−975) = 48 + 975 = 1023 años

3. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? Solución:−18 ºC − 4 ºC = −22 ºC 4. ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? Solución:4 ºC − (−18 ºC) = −22 ºC = 4 ºC + 18 ºC = 22 ºC La diferencia de temperatura en valor absoluto es igual en ambos casos. El signo menos del primer caso nos indica que se produce un descenso de la temperatura, y el signo más del segundo un aumento.

 5. La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?

Soluciones:

|−81| : 9 = 81 : 9 = 9 300 · 9 = 2 700 m

6. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

Soluciones:

800 + 25 · 15 − (30 · 15) = 800 + 375 − 450 = 1175 − 450 = 725 l.
ECUACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, en ella se pueden encontrar valores numéricos denominados constantes y unos valores desconocidos denominados incógnitas variables, señaladas con letras del alfabeto. Al dar solución a una ecuación se encuentran valores que hagan que se encuentre la igualdad citada anteriormente:
3 * C = 24
C= 8
Como puedes ver el valor de la variable hace que se cumpla la igualdad que es:
3 * 8 = 24
24 = 24
Para poder resolver una ecuación se hace uso de la propiedad uniforme, esta se expresa de la siguiente manera:
Si tenemos una balanza y se quiere que esta este en equilibrio, si agregamos un peso a un brazo de la balanza este se desnivela entonces debemos agregar el mismo peso al otro brazo para que esta quede en la posición que en un principio se enuncio.
Llevando este ejemplo a las matemática, una ecuación es como la balanza si agrego un numero o valor a un miembro de la igualad se debe agregar el mismo al otro miembro o lado de la igualdad de esto se trata la ley de la uniformidad, veamos:
3x + 5 = 6x – 16
3x + 5 – 5 = 6x – 16 – 5 ( inverso aditivo de 5)
Como ves se agrego un valor a ambos lados de la igualdad este es ( -5). Luego se hace la operación indicada.
3x + 0 = 6x – 21 (Propiedad clausurativa)
El objetivo de este paso es dejar un solo numero en la ecuación, ahora:
3x – 6x = 6x – 21 – 6x ( inverso aditivo de 6x)
Se agrega un nuevo valor a ambos lados de la igualdad siendo este (-6x), realizando la operación indicada teniendo en cuenta que se efectúan los números que tienen letras al pie o multiplicando recuerda lecciones anteriores.
-3x = -21 – 0 ( Propiedad clausurativa)
(-3)x / (-3) = -21 / -3 ( inverso multiplicativo de -3)
x * 1 = 7 ( propiedad clausurativa )
x = 7
Como ves ahora se agrego el inverso multiplicativo de -3 a los dos lados de la igualdad, que es la división, luego e ejecuta la operación.
En fin solucionar una ecuación es dejar sola la letra este proceso se denomina despeje de la variable.
Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s