1. TEORÍA DE CONJUNTOS

1.1   NOCIÓN DE CONJUNTO

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados  elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, …, x, y, z. que se puede escribir así:

               A =  { a, b, c, …, x, y, z}

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas : A, B, C,…  y sus elementos  con minúsculas:a,b,c… por ejemplo:

A={ a, c, b }

B={ primavera, verano, otoño, invierno }

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({})  y separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina denotación por extensión. 

También es posible denotar el conjunto determinando la característica de  los elementos del conjunto quien determina si un elemento pertenece o no a él. Ésta forma recibe el nombre de denotación por comprensión, donde utilizamos la notación   {x / x es….}   

Ejemplo

              A = {x / x es una letra del alfabeto español}  (Denotación por comprensión)

              A= {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,ñ,o,p,g,r,s,t,u,v,w,x,y,z}(denotación por extensión)

TIPOS DE CONJUNTOS

CONJUNTO VACIO: Es el que no tiene elementos

Ejemplo:

A={x / x es un estudiante del colegio Galán de Cumaral que pesa 400kilos}

CONJUNTO UNITARIO: Es el que tiene un solo elemento

Ejemplo:

R={x / x es un satélite natural de la tierra}

CONJUNTO FINITO: Es aquel que tiene una cantidad determinada de elementos, es decir tienen fin.

Ejemplo:

 T={x / x es un departamento de Colombia}

CONJUNTO INFINITO: Es aquel que tiene una cantidad indeterminada de elementos, es decir sus elementos no tienen fin.

Ejemplo:

{x / x es un número entero}

         IGUALDAD DE CONJUNTOS  

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplos:

1.    El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, {c, a, b }, { c, b, a }

2.           M=  {x / x es un color primario }

N= {x / x es un color de la bandera de Colombia }

los conjuntos M y N son iguales

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }. 

El símbolo ∈ indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, se utilizará el símbolo  ∉.

Ejemplo:

Sea   B ={ a, e, i, o, u },      a  ∈ B      y     c ∉  B

---

SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos B = { 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y    A = { 1, 2, 5 }

En este caso decimos que A esta contenido en B, por que los elementos de A están también en B; o que A es subconjunto de B.

En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A lo es de B también.

Por lo tanto si A es un subconjunto de B  se escribe A ⊆ B.

 UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, éste conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si sólo queremos referirnos a los 9 primeros números naturales el conjunto  U queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9 },  se dice entonces que A={2,4,6 }   y  B= {1,3,5,8},están

contenidos en el conjunto U que se toma como referencia.

Algunos conjuntos que se acostumbra a trabajar como conjunto universal:

• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N = { 1, 2, 3, …. }

• Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, … }

• Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q
• Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
• Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos.

Por ejemplo, al denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.

Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

                                                 A = { x/x Î N ; x < 60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre – 20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

                                              A = { x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }

 

1.2   OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A U B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A È B = { x/x Î A ó x Î B o a ambos}

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 }      y    B={ 10, 11, 12 }

A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

---

INTERSECCIÓN

La intersección de dos conjuntos A y B la denotaremos por A∩ B,es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A∩B, algebraica mente se escribe así:

A Ç B = { x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k }       y       P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

---

CONJUNTO VACIO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.

A Ç B= { }

El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ç B=Æ

EJEMPLO 2

F= { x/x Es un ser humano que mide 4 metros  }

 

---

CONJUNTOS DISYUNTOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos disyuntos o ajenos, es decir:

Si A Ç B = Æ entonces A y B son DISYUNTOS.

---

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A’ y que se representa por comprehensión como:

A’={ x Î U/x y x Ï A }.  También se dice que A’son todos elementos que les faltan al conjunto A para ser el universal. 

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A’= { 2, 4, 6, 8 }

---

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A–B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A – B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A – B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B – A el resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

 

---

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn  se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por medio de un color azul por ejemplo:

REGIONES Y NÚMERO DE ELEMENTOS

Número de elementos.

Si A es un conjunto, se denota  n(A) al número de elementos

Ejemplos:

A= {x / x es un planeta del sistema solar}         n(A)=9

R={x / x es un mes del año}                              n(R)= 12

H={x / x es un número primo par}                     n(H) = 1

Si conocemos el número de elementos de ciertos conjuntos dados,es posible hallar el número de elementos de otros conjuntos que contengan unión,intersección,diferencia y complemento con  aquellos.

Si se dan dos conjuntos disyuntos A y B,entonces el número de elementos de la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de ellos,es decir:

n(A È B)= n(A) + n(B)

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

 

– Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 },              B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A U C        b) B U C       c) A U B

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }       y     C = { 5, 6, 8 }

	A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8 }

b)       B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

	B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

c)         A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

	A U B = {0 , 1, 2 , 3, 4, 5 }

Intersección de conjuntos

– Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 },                B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A n C          b) B n C           c) A n B 

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

	A n C = {2 ,4 }

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

	B n C = { }

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y

    B = { 3, 5, 7 }

	A n B = {3 ,5 }

Diferencia entre conjuntos (A – B)

Ejemplo:

 

– Dados los conjuntos: A ={ a,b,c,d,e }, B = { a,e } y   C = { d,f,g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A – C

b) B – C

c) A – B

a) A = { a, b, c, d, e } y

     C = { d, f, g }

	A – C = { a, b, c, e }

b) B = { a, e }        y     C = { d, f, g }

	B – C = { a, e }

c) A = { a, b, c, d, e }   y  

    B = { a, e }

	A – B = { b, c, d }

Complemento de un conjunto

 

Ejemplo:

Dados los conjuntos referencia:

U =  {x/x los números dígitos}

A =  {x/x los números dígitos pares}

Determinar A´.

Tendremos:

U =  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A =  {2, 4, 6, 8}

A´ =  {0, 1, 3, 5, 7, 9}

 

– Sean U = { m, a, r, t, e } y

           A = { t, e }

Su complemento de A es: A’ ={m,a,r}

EJERCICIOS PROPUESTOS

sean los conjuntos

A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {3, 4, 6, 7} y

C = {4, 5, 6}

– Determinar:

a)  A – C      b)  A – B       c)   C – A  

d) C -B 

– Con base en los conjuntos A, B y C del ejercicio 1 y

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

 

   determinar:    A’U B      A’nB        A’-C

– Identifica cuáles conjuntos son finitos, infinitos, unitarios y vacíos.

a) U: los números reales

b) A: los números naturales menores que 12.

c) C: los países de América del Sur cuya capital es Quito.

d) D: la mamá de tus hijos.

e) E: la cantidad de arena de una playa.

f) F: los compañeros de estudio mayores de 100 años.

Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

A={x∈Z/x divide a 24}                       B={x∈Z/x está entre -3 y 10}

C={x∈N/x esmúltiplo de 2}               D={(x/x es un mes del año}

E={(x/x es una estación del año}

Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

A={0,3,6,9,12,15,…} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,3,5,7,11,13,…}

D={Bogotá,Cali,Medellin,Barranquilla} E={-1,-2,-3,-4,…}

Sea A={1,2,3,4,5} determiar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones

a) 3∈A            b) {1,3,5,}∁ A                c) ∅ ∈A                     d) 2∁ A

Si A={2,4,6} B={1,2,3,4,5,6} y C={4,1,3,2,6,5}. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

A ∁ B          B ∁C       A=C       C ∁ B            B=C                  5∈A

Una clínica tiene 100 pacientes, 20 tienen dolores de estomacales, 30 tienen dolor de cabeza y 17 tienen los dos síntomas.

¿Cuántos pacientes tienen solo dolor de cabeza?

¿Cuántos pacientes tienen solo dolor de estomago?

¿Cuántos pacientes tienen dolores estomacales o de cabeza?

De los 55 estudiantes de un curso 23 pierden matemáticas, 19 física y 13 química. De éstos 13 pierden matemáticas y física, 7 física y química, 9 matemáticas y química y 4 las tres materias. ¿Cuántos estudiantes no pierden ninguna de las tres materias?

En una encuesta realizada en algunos países acerca de los productos de mayor exportación se encontró que:

8 países exportan café

15 exportan petróleo

13 exportan frutas

6 exportan solo frutas y petróleo

4 exportan solo frutas

3 exportan los tres productos

Y solo café y petróleo ninguno.

¿Cuantos países fueron encuestados?

¿Cuantos exportan solo café?

¿Cuantos países exportan solo petróleo?.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C

2.- Popiedad Idempotente

А ∩ А = А

3.- Propiedad Conmutativa.

А ∩ B = B ∩ А

4.- Intersección con el Vacío

А ∩ Ø = Ø

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

1.- Propiedad Asociativa

А U (B U C) = (А U B) U C

5.- PROPIEDAD DE ABSORCIÓN

Si  B С A U B entonces  А U B = B

PROPIEDADES COMBINADA

1.- Propiedad Distributiba

a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

b) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

2.- Propiedad Simplificativa

a)  A U B (B ∩ A) = A

b) A ∩ (B U A) = A

 

---

 

Ver este documento en Scribd

SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

La solución de un sistema es un par de números x_1, y₁, tales que reemplazando x por x₁ e y por y₁, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Ejemplo:

       La solución para este sistema es:   x = 2, y = 3  veamos la prueba           

 Métodos para solucionar sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de sustitución

Método de reducción

Método de igualación

Sistemas de ecuaciones lineales de 2×2/Sustitución

Ejemplo 1

Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones mediante sustitución:

3X + Y = 22
4X - 3Y = -1

PASO 1

Despejamos una variable de cualquier ecuación. En este caso, despejaremos la Y de la primera ecuación:

3X + Y = 22
Y = 22 - 3X

PASO 2

Reemplazamos el valor de Y que acabamos de obtener en la otra ecuación, y simplificamos la ecuación:

4X - 3Y = -1
4X - 3(22-3X) = -1
4X - 66 + 9X = -1
13X - 66 = -1

PASO 3

Despejamos la variable que nos queda (en este caso, X):

13X - 66 = -1
13X = -1 + 66
13X = 65
  X = 65/13
  X = 5

PASO 4

Ya obtuvimos el valor de X. Sabemos que Y = 22 - 3X (fue el primer despeje que hicimos, ¿recuerdas?), así que

Y = 22 - 3X
Y = 22 - 3*5
Y = 22 - 15
Y = 7

Y listo. Tenemos entonces la solución al sistema de ecuaciones:

X = 5
Y = 7

SISTEMAS 2X2

EJERCICIOS  RESUELTOS

1)         

2x + 4y = 16 3x – 4y =- 6 2) 3) 4)

5)

 SISTEMAS 3X3

 EJERCICIOS RESUELTOS

1) PENDIENTE

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax² + bx +c = 0   con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Ejemplos

1.  2.  3) Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

1. ax² = 0

La solución es x = 0.

Ejemplos

2. ax² + bx = 0

Extraemos factor común x: Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.

Ejemplos

1.  2. 

3. ax² + c = 0

1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo. 2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo. 3. Se efecúa la raí cuadrada en los dos miembros.

Ejemplos

1.  2.  Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1)

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. Edad actual  x Edad hace 13 años  x − 13 Edad dentro de 11 años  x + 11 Edad actual  21 2)

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. Semiperímetro 55 Base  x Altura  55 − x x · (55 − x) = 750 x² − 55x + 750 = 0 x = 25      x = 30 Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m . 3) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m². 1^er lado (base) 3x 2º lado (altura)  4x 3^er lado  5x 1^er lado  6 m

 4)

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². (50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540 4x² + 168x − 540 = 0        x² + 42x − 135 = 0 x = 3 y x = −45 La anchura del camino es 3 m .