LÍMITE DE FUNCIONES

Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto C, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los valores de x se acercan al valor C. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando las x tienden a C.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto c = 2.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
…	…
↓	↓
2	4

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
…	…
↓	↓
2	4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

se concluye entonces que el limite de la función f(x) = x² en el punto x₀ = 2 es 4

El límite de una función en un punto si existe, es único.

Ejemplos

1. Función a trozos

Límites laterales

limite por la izquierda

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

2. función

limite por la izquierda

limite por la derecha

Como no coinciden los límites laterales,la función no tiene límite en x = 0.

Generalicemos ahora para una función f cualquiera

Teniendo en cuenta la gráfica definimos el concepto de límite:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo $\varepsilon > 0 \;$ existe un $\delta > 0 \;$ tal que para todo número real x en el dominio de la función $0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon$ .

Propiedades de los límites

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de	Expresión
Una constante	$\lim_{x \to c} k =\, k,\, donde\, k\in \R \,$
La función identidad	$\lim_{x \to c} x = \, c \,$
El producto de una función y una constante	$\lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,$
Una suma	$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,$
Una resta	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un producto	$\lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un cociente	$\lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,$
Una potencia	${\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0$
Un logaritmo	${\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}$
El número e	${\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e$
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal	${\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0$ .

FORMAS INDETERMINADAS

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere $\infty \,\!$ como el límite que tiende a infinito y $0 \,\!$ al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación	Indeterminación
Sustracción	$\infty - \infty$
Multiplicación	$\infty \cdot 0$
División	$\cfrac{\infty}{\infty}, \cfrac{0}{0}$
Elevación a potencia	$1^\infty, \infty ^0, 0^0$

Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

límite

Es decir para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

Cálculo del límite en un punto

No podemos calcular límite porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular límite , porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

función a trozos .

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda: límite

Por la derecha: Limite

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda: límite

Por la derecha: límite

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

EJERCICIOS

Calcular los siguientes límites

2 Límite

3. Límite

4. Límite

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

sistema

La solución de un sistema es un par de números x_1,y₁, tales que reemplazando x por x₁ e y por y₁, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Ejemplo:

La solución para este sistema es: x = 2, y = 3 veamos la prueba

Métodos para solucionar sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Método de sustitución

Sistemas ecuaciones

Método de reducción

Sistemas ecuaciones lineales

Método de igualación

Sistemas ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales de 2×2/Sustitución

Ejemplo 1

Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones mediante sustitución:

3X + Y = 22
4X - 3Y = -1

PASO 1

Despejamos una variable de cualquier ecuación. En este caso, despejaremos la Y de la primera ecuación:

3X + Y = 22
Y = 22 - 3X

PASO 2

Reemplazamos el valor de Y que acabamos de obtener en la otra ecuación, y simplificamos la ecuación:

4X - 3Y = -1
4X - 3(22-3X) = -1
4X - 66 + 9X = -1
13X - 66 = -1

PASO 3

Despejamos la variable que nos queda (en este caso, X):

13X - 66 = -1
13X = -1 + 66
13X = 65
  X = 65/13
  X = 5

PASO 4

Ya obtuvimos el valor de X. Sabemos que Y = 22 - 3X (fue el primer despeje que hicimos, ¿recuerdas?), así que

Y = 22 - 3X
Y = 22 - 3*5
Y = 22 - 15
Y = 7

Y listo. Tenemos entonces la solución al sistema de ecuaciones:

X = 5
Y = 7

SISTEMAS 2X2

EJERCICIOS RESUELTOS

2x + 4y = 16 3x – 4y =- 6 2) 3) sistema 4)

sistema 5)

SISTEMAS 3X3

EJERCICIOS RESUELTOS

1) PENDIENTE

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax² + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Ejemplos

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

1. ax² = 0

La solución es x = 0.

Ejemplos

2. ax² + bx = 0

Extraemos factor común x: Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.

Ejemplos

3. ax² + c = 0

1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo. 2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo. 3. Se efecúa la raí cuadrada en los dos miembros. solución

Ejemplos

1. ecuación 2. Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1)

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. Edad actual x Edad hace 13 años x − 13 Edad dentro de 11 años x + 11 Edad actual 21 2)

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. esquema

Semiperímetro

55 Base

x Altura

55 − x x · (55 − x) = 750 x² − 55x + 750 = 0 x = 25 x = 30 Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m . 3) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m². esquema

1^er lado (base)

3x 2º lado (altura)

4x 3^er lado

1^er lado

6 m

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². esquema

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540 4x² + 168x − 540 = 0 x² + 42x − 135 = 0 x = 3 y x = −45 La anchura del camino es 3 m .

Amor a la matemática

Quien ama la matemática ama la vida

Archivo por meses: octubre 2013

LÍMITE DE FUNCIONES

Propiedades de los límites

Cálculo del límite en una función definida a trozos

Calcular los siguientes límites

SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

Método de sustitución

Método de reducción

Método de igualación

Sistemas de ecuaciones lineales de 2×2/Sustitución

Ejemplo 1

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

1. ax² = 0

2. ax² + bx = 0

3. ax² + c = 0

Propiedades de los límites

Cálculo del límite en una función definida a trozos

Calcular los siguientes límites

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

Método de sustitución

Método de reducción

Método de igualación

Sistemas de ecuaciones lineales de 2×2/Sustitución

Ejemplo 1

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

1. ax2 = 0

2. ax2 + bx = 0

3. ax2 + c = 0

1. ax² = 0

2. ax² + bx = 0

3. ax² + c = 0