1. NÚMEROS NATURALES

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

El sistema de numeración decimal incorpora una serie de reglas que permiten representar una serie infinita de números.

Sus principales características son:

Sistema en base 10

Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco, en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas equivalen a 1 centena y así sucesivamente.

Posee 10 dígitos

Éstos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar infinitos números.

Valor posicional y relativo de cada dígito

Esto quiere decir que dependiendo de la posición en donde se ubique cada dígito el valor que éste tendrá.

Así por ejemplo, vemos que el valor del número 2 en 3.245 no es el mismo que en el 332, esto debido a que los dígitos actúan como multiplicadores de las potencias de la base.

Así tenemos que en el número 3.245 el 2 se ubica en las centenas, por lo que su valor posicional será de 2*100, es decir 200. Sin embargo, en el número 332 su valor equivaldrá a la multiplicación de 2*1, es decir 2, ya que el 2 se encuentra en la posición de las unidades. Por otro lado, si recordamos cuál es el valor de cada base tendremos:

Unidades 1
Decenas 10
Centenas 100
Unidades de Mil 1.000
Decenas de Mil 10.000
Centenas de Mil 100.000

25 301 458 flecha 2 dM + 5 uM + 3 cm + 0 dm + 1 um + 4 c + 5 d + 8 u

25 301 458 flecha 20 000 000 + 5 000 000 + 3 00 000 + 0 + 1 000 + 400 + 50 + 8

Si utilizamos potencias de base 10 podemos hacer una descomposición polinómica:

25 301 458 flecha 2 · 107 + 5 106 + 3 105 + 0 104 + 1 103 + 4 102 + 5 101 + 8

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Con los números naturales podemos:

1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

Sistema solar

Ejemplo: 8 es el número de planetas del Sistema Solar.

2 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).

Números ordinales

Ejemplo: El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.

3 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Números arbitrario

Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257.

Los números naturales tienen origen en una necesidad tan antigua como las primeras civilizaciones: la necesidad de contar.

El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre uno y muchos; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello empezó a representar las cantidades haciendo marcas en huesos, trozos de madera o piedra, por cada objeto observado hacia una marca que le fuera familiar, así concibió la idea de número.

Es posible imaginar un gran conjunto universal formado por muchísimos conjuntos. Si los conjuntos son seleccionados según el número de elementos que posean, se obtienen clases de conjuntos muy particulares. Por ejemplo la clase de los conjuntos con un elemento, la clase de los conjuntos con dos elementos, etc.

Si a cada clase se le asigna un nombre y un símbolo que la represente, surge el conjunto de los números naturales. Así, a la clase de los conjuntos con un único elemento se le asigna el símbolo 1; a la clase de conjunto con dos elementos se le asigna el símbolo 2, y así sucesivamente.

Un número natural es el símbolo que representa a una clase de conjuntos con el mismo número de elementos o con el mismo número cardinal.

El símbolo que representa el conjunto de los números naturales es N, por lo tanto N={1,2,3,4,5,….]

 

 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS NATURALES

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. 

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0)A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3…

Representación de los números naturales en una recta

 

ORDEN EN LOS NÚMEROS NATURALES

Para verificar el orden es decir que número es mayor >, menor < o igual = que otro, desde la recta numérica es muy sencillo; los números que se encuentran a la derecha de un numero dado son mayores que este número, y los que se encuentran a la izquierda son menores, por lo tanto los que caen en el mismo punto son iguales.

 

orden4

De igual modo sin tener la representacion de la recta numerica, se pueden organizar grupos de la siguiente manera:

 

Se puede verificar que grupo tiene mayor cantidad de objetos; en conclusion se puede afirmar luego de lo estudiado que:

Puedes practicar esta leccion en: http://www.ematematicas.net/naturales.php?a=&op=orden

 

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES

 LOS NÚMEROS REALES

Recordemos como se conforman los principales conjuntos numéricos

          N={ 1,2,3,…   }      (Números naturales)

         No={ 0,1,2,3,.. }   (Números naturales con el cero)

          Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,.. } (Números enteros)

         Q={ m/n: m y n є z y n ≠ 0 } ( Números Racionales)

          I{ números decimales infinitos no periódicos   } (Números irracionales)

Mapa conceptual de los Números reales

Mapa conceptual de los Números Reales

Números Reales en diagrama

Crecimiento de los Números Reales

Propiedades de los números Reales

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.

Sean a,b,c \in \mathbb {R}, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad Adición Multiplicación
Cerradura a+b \in \mathbb {R} a \cdot b \in \mathbb {R}
Conmutativa  a+b=b+a  a \cdot b=b \cdot a
Asociativa   a+(b+c)=(a+b)+c  a \cdot (b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c
Distributiva  a \cdot (b+c)=(a \cdot b) + (a \cdot c)
Identidad   a+0=a  a \cdot 1=a
Inverso  a+(-a)=0  a \cdot \left ( \frac{1}{a} \right )=1

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempre un número real.  Por ejemplo:

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2+7=9, \; \;  9 \in \mathbb {R}

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2 \cdot 7=14, \; \;  14 \in \mathbb {R}

Importante:

La propiedad de la cerradura también aplica para la sustracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.

2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2-7=-5, \; \;  -5 \in \mathbb {R}

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:

6+7=7+6=13

6 \cdot 7=7 \cdot 6=42

Importante:

La propiedad conmutativa NO aplica para la sustracción o la división, pues el resultado se altera.

6-7  \neq 7-6

\frac {6}{7}  \neq \frac {7}{6}

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

3+(4+5)=(3+4)+5=12

3 \cdot (4 \cdot 5)=(3 \cdot 4) \cdot 5=60

Importante:

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.

3-(4-5) \neq (3-4)-5

3 \div (4 \div 5) \neq (3 \div 4) \div 5

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar  las operaciones aritméticas.

3 \cdot (4+5)=(3 \cdot 4) + (3 \cdot 5)=27

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:

25+0=25, el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:

25 \cdot 1=25, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

28+(-28)=0   el inverso aditivo para esta suma es el número -28

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

5 x 1/5 = 1

Como un ejemplo de aplicación de las propiedades tenemos la solución de ecuaciones. Cuyo proceso pretende transformar la ecuación a otra ecuación equivalente que tenga de un lado los términos que incluyen a la variable y del otro lado los valores constantes.

Ejemplo: 

Resuelva la ecuación 7x – 4 = 3x + 8, aplicando las propiedades de los números reales

ecuaciones

De esta manera encontramos que la solución es 3. Para verificar la respuesta sustituimos x = 3 en la ecuación original

sol 3

DIAGRAMA DE EXPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS

Para combinar  números reales que involucran negativos, utilizamos las propiedades siguientes:

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS NEGATIVOS

TALLER 1:  NÚMEROS REALES

Responder V si es verdadero o F si es falso y justificar la respuesta

a.   Todo número entero es racional

b.   Cualquier número racional tiene expresión decimal periódica

c.   Cero no es número racional

d.   Ningún número racional es irracional

e.   0/5 es un número entero

f.    Cualquier número racional o irracional es número entero

g.   Todo número racional es número entero

h.   Cualquier número entero es número natural.

2. Colocar x en la tabla según corresponda el número al conjunto dado.

taller

3.   Ubicar en la recta real los siguientes números

-7/4       62/9        0,8     4/9      53/7 √18

4.   Dar un ejemplo para cada propiedad de los números reales

5.   En la siguiente demostración hay un error ¿Cuál es?

Si x = y      se tiene:

x² = x y  (multiplicando ambos lados de la ecuación por x)

x² – y² = xy – y²   (restando y² a ambos lados de la ecuación)

(x – y)(x + y) = y (x – y) (factorizando ambos lados de la ecuación)

x + y = y     (Dividiendo ambos lados de la ecuación por (x – y))

2y = y      (como x = y se reemplaza)

2y / y = y / y   (Dividiendo ambos lados de la ecuación por y)

2 = 1,        éste resultado es inconsistente

6 .El perímetro de un campo rectangular es 500 metros. Encontrar las dimensiones del campo si la longitud del campo es 12 metros más que el ancho.

 terreno rectangular

         
1.2 LEY DE TRICOTOMÍA
Sean dos números reales a y b, ubicados en la recta real, entonces sólo puede ocurrir una de las siguientes situaciones:
1. Que a < b y en este caso a se encuentra a la izquierda de b
a menor que b
2. Que a > b y en este caso a se encuentra a la derecha de b
GRA 2
3. Que a = b y en este caso a se encuentra en la misma posición de b
IGUAL
1.3  INTERVALOS EN LA RECTA REAL
Dados dos números a y de la recta real, tales que a < b , se define intervalo de extremos a y b al subconjunto de números reales comprendidos entre a y b.
1.3.2 CLASES DE INTERVALOS
INTERVALO ABIERTO

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

                                            (a, b) = {x Pertenece Erre / a < x < b}

recta

INTERVALO CERRADO
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x Pertenece Erre / a ≤ x ≤ b}

recta

INTERVALO SEMIABIERTO A LA IZQUIERDA

Intervalo semiabierto a la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x Pertenece Erre / a < x ≤ b}

rceta

INTERVALO SEMIABIERTO A LA DERECHA

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x Pertenece Erre/ a ≤ x < b}

recta

INTERVALOS AL INFINITO

(a, ∞)  = {x Pertenece Erre /  x > a }

semirrecta

[a, ∞) = {x Pertenece Erre / x ≥ a }

x mayor o igual que a

(-∞, a) = {x PerteneceErre /  x < a}

x menor que a

 (-∞, a] = {x Pertenece Erre /  x ≤ a}

x menor o igual que a

1.3.3 OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN

La  unión de los conjuntos  A y  B es el conjunto de todos los elementos de  A con todos los  elementos de  B sin repetir ninguno y se denota como  A∪ B . Esto es:
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INTERSECCIÓN

La  intersección de los conjuntos  A y  B es el conjunto de los elementos de  A que también  pertenecen a  B y se denota como  A ∩ B . Esto es:
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Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen  nada en común. Por ejemplo:
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DIFERENCIA

La  diferencia de los conjuntos  A y  B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a  A y no pertenecen a  B y se denota como  A − B . Esto es:
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DIFERENCIA SIMÉTRICA

La  diferencia simétrica de los conjuntos  A y  B es el conjunto de los elementos que pertenecen a  la unión entre A y B pero no pertenecen a  la intersección entre A y B, se denota como  A Δ B . Esto es:
DIFERENCIA SIMÉTRICA
DIF SIM II

dif  sim3

COMPLEMENTO

El complemento del conjunto  A con respecto al conjunto universal  U es el conjunto de todos los  elementos de U que no están en  A y se denota como  A’ . Esto es:
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1.3.4   OPERACIONES CON INTERVALOS

Consideremos los intervalos:

A = [ -3, 5 )            B = ( – ∞, 1)             C = [ – 1, 7 )                  D = [ 0, ∞ )

Hallar:

a. A U B =  [ -3, 5 ) U  ( -∞. 1 ) = ( – ∞, 5 )

UNION

b. C ∩ D = [ -1, 7 ) ∩ [ 0, ∞ ) = [ 0, 7 )

INTERSECCION 2

c.  C – A =  [ -1, 7 ) – [ -3, 5 ) = [ 5, 7 )

DIFERENCIA

d.  B Δ D = ( -∞, 1 ) Δ  [ 0, ∞ ) =  ( –∞, 0 ) U [ 1, ∞ )

diferenecia sim ii

e.   A’ = [ –3, 5 )’ = ( – ∞, – 3 ) U [ 5, ∞ )

complemento 2

TALLER 2: INTERVALOS

DEFINICIÓN DE DESIGUALDADES

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notación a < b significa a es menor que b; a se encuentra a la izquierda de b

La notación a > b significa a es mayor que b; a se encuentra a la derecha de b

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como “estrictamente menor que” o “estrictamente mayor que“.

  • La notación ab significa a es menor o igual que b;
  • La notación ab significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7
menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2.  Un intervalo.

Ejemplos

1.    2x − 1 < 7     2×-1+1 <

2x < 8     x < 4

solución

(-∞, 4)

2.      2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

solución

(-∞, 4]

3.      2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

solución

(4, ∞)

4.      2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8     x ≥ 4

solución

[4, ∞)

Escoge la opción correcta:

1La representación gráfica Graf_x>7corresponde a…

todos los números mayores que siete.

todos los números mayores o iguales que siete.

todos los números mayores que siete incluido el infinito.

2La expresión x < 5 se lee…

todos los números mayores que cinco.

todos los números menores que cinco.

todos los números mayores o iguales que cinco.

3La representación Graf_x<-3 es equivalente a la expresión…

x ≤ −3

−3 ≤ x

x < 3

4 La representación Graf_x>=-5 es equivalente a la expresión…

x ≥ −5

x ≤ −5

−5 < x

5La representación Graf_x<=1 es equivalente a…

1 < x

x ≥ 1

1 ≥ x

6La expresión 2 ≤ x se refiere a…

cualquier número mayor que dos incluido este.

cualquier número mayor que dos.

cualquier número menor que dos incluido este.

TALLER DESIGUALDADES

UNIDAD 1: TEORÍA DE CONJUNTOS

1.1   NOCIÓN DE CONJUNTO

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados  elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, …, x, y, z. que se puede escribir así:

               A =  { a, b, c, …, x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({})  y separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina denotación por extensión. 

También es posible denotar el conjunto determinando la característica de los los elementos del conjunto quien determina si un elemento pertenece o no a él. Ésta forma recibe el nombre de denotación por comprensión, donde utilizamos la notación {x / x es….}   

                     A = {x / x es una letra del alfabeto español}

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplos:

1.    El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

2.           M=  {x / x es un color primario }

N= {x / x es un color de la bandera de Colombia }

los conjuntos M y N son iguales

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }. 

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas : A, B, C,… por ejemplo:

A={ a, c, b }

B={ primavera, verano, otoño, invierno }

El símbolo ∈ indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, se utilizará el símbolo  ∉.

Ejemplo:

Sea   B ={ a, e, i, o, u },      a  ∈ B      y     c ∉  B


SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos B = { 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y    A = { 1, 2, 5 }

En este caso decimos que A esta contenido en B, por que los elementos de A están también en B; o que A es subconjunto de B. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A lo es de B también.

Por lo tanto si A es un subconjunto de B  se escribe A ⊆ B.

sub 3

 UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, éste conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

universal

Por ejemplo si sólo queremos referirnos a los 9 primeros números naturales el conjunto  U queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9 },  se dice entonces que A={2,4,6 }   y  B= {1,3,5,8},están

contenidos en el conjunto U que se toma como referencia.

Algunos conjuntos que se acostumbra a trabajar como conjunto universal:

  • Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N = { 1, 2, 3, …. }
  • Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, … }
  • Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q
  • Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
  • Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos.

Por ejemplo, al denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.

Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

                                                 A = { x/x Î N ; x < 60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre – 20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

                                              A = { x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }


1.2   OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A U B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

È B = { x/x Î A ó x Î B o a ambos}

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 }      y    B={ 10, 11, 12 }

È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }


INTERSECCIÓN

La intersección de dos conjuntos A y B la denotaremos por A∩ B,es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A∩B, algebraica mente se escribe así:

A Ç B = { x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k }       y       P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Ç P={ a, b, o, r, s, y }


CONJUNTO VACIO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.

Ç B= { }

El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

Ç B=Æ

EJEMPLO 2

F= { x/x Es un ser humano que mide 4 metros  }

 


CONJUNTOS DISYUNTOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos disyuntos o ajenos, es decir:

Si A Ç B = Æ entonces A y B son DISYUNTOS.


COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A’ y que se representa por comprehensión como:

A’={ x Î U/x y x Ï A }.  También se dice que A’son todos elementos que les faltan al conjunto A para ser el universal. 

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A’= { 2, 4, 6, 8 }


DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:

A – B={ x/x Î A ; X Ï B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A – B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B – A el resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

 


DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn  se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por medio de un color azul por ejemplo:

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

 

- Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 },              B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A U C        b) B U C       c) A U B

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }       y     C = { 5, 6, 8 }

   

A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8 }

b)       B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }

   
 

B U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }

c)         A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 0, 2, 4 }

   
 

A U B = {0 , 1, 2 , 3, 4, 5 }

Intersección de conjuntos

- Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 },                B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A n C          b) B n C           c) A n

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

A n C = {2 ,4 }

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

B n C = { }

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y

    B = { 3, 5, 7 }

A n B = {3 ,5 }

Diferencia entre conjuntos (A – B)

Ejemplo:

 

- Dados los conjuntos: A ={ a,b,c,d,e }, B = { a,e } y   C = { d,f,g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a) A – C

b) B – C

c) A – B

a) A = { a, b, c, d, e } y

     C = { d, f, g }

A – C = { a, b, c, e }

b) B = { a, e }        y     C = { d, f, g }

B – C = { a, e }

c) A = { a, b, c, d, e }   y  

    B = { a, e }

A – B = { b, c, d }

Complemento de un conjunto

 

Ejemplo:

Dados los conjuntos referencia:

U =  {x/x los números dígitos}

A =  {x/x los números dígitos pares}

Determinar A´.

Tendremos:

U =  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A =  {2, 4, 6, 8}

A´ =  {0, 1, 3, 5, 7, 9}

 

- Sean U = { m, a, r, t, e } y

           A = { t, e }

Su complemento de A es: A’ ={m,a,r}

EJERCICIOS PROPUESTOS

sean los conjuntos

A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {3, 4, 6, 7} y

C = {4, 5, 6}

Determinar:

a)  A – C      b)  A – B    c)   C – A  d) C -B 

Con base en los conjuntos A, B y C del ejercicio 1 y

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

 

   determinar:    A’U B      A’nB        A’-C

Identifica cuáles conjuntos son finitos, infinitos, unitarios y vacíos.

a) U: los números reales

b) A: los números naturales menores que 12.

c) C: los países de América del Sur cuya capital es Quito.

d) D: la mamá de tus hijos.

e) E: la cantidad de arena de una playa.

f) F: los compañeros de estudio mayores de 100 años.

Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

A={x∈Z/x divide a 24}                       B={x∈Z/x está entre -3 y 10}

C={x∈N/x esmúltiplo de 2}               D={(x/x es un mes del año}

E={(x/x es una estación del año}

Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

A={0,3,6,9,12,15,…} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,3,5,7,11,13,…}

D={Bogotá,Cali,Medellin,Barranquilla} E={-1,-2,-3,-4,…}

Sea A={1,2,3,4,5} determiar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones

a) 3∈A            b) {1,3,5,}∁ A                c) ∅ ∈A                     d) 2∁ A

Si A={2,4,6} B={1,2,3,4,5,6} y C={4,1,3,2,6,5}. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

A ∁ B          B ∁C       A=C       C ∁ B            B=C                  5∈A

Una clínica tiene 100 pacientes, 20 tienen dolores de estomacales, 30 tienen dolor de cabeza y 17 tienen los dos síntomas.

¿Cuántos pacientes tienen solo dolor de cabeza?

¿Cuántos pacientes tienen solo dolor de estomago?

¿Cuántos pacientes tienen dolores estomacales o de cabeza?

De los 55 estudiantes de un curso 23 pierden matemáticas, 19 física y 13 química. De éstos 13 pierden matemáticas y física, 7 física y química, 9 matemáticas y química y 4 las tres materias. ¿Cuántos estudiantes no pierden ninguna de las tres materias?

En una encuesta realizada en algunos países acerca de los productos de mayor exportación se encontró que:

8 países exportan café

15 exportan petróleo

13 exportan frutas

6 exportan solo frutas y petróleo

4 exportan solo frutas

3 exportan los tres productos

Y solo café y petróleo ninguno.

¿Cuantos países fueron encuestados?

¿Cuantos exportan solo café?

¿Cuantos países exportan solo petróleo?.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C

2.- Popiedad Idempotente

А ∩ А = А

3.- Propiedad Conmutativa.

А ∩ B = B ∩ А

4.- Intersección con el Vacío

А ∩ Ø = Ø

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

1.- Propiedad Asociativa

А U (B U C) = (А U B) U C

5.- PROPIEDAD DE ABSORCIÓN

Si  B С A U B entonces  А U B = B

PROPIEDADES COMBINADA

1.- Propiedad Distributiba

a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

b) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

2.- Propiedad Simplificativa

a)  A U B (B ∩ A) = A

b) A ∩ (B U A) = A

 


 

TRABAJO DE ESTADÍSTICA

INSTITUCIÓN EDUCATICA JOSÉ ANTONIO GALÁN

TRABAJO DE ESTADISTICA

Grado noveno

 

Las estaturas (en centímetros) de los estudiantes de grado noveno

De un colegio de Villavicencio son las siguientes:

 

140    140    157    154    170    160    133    164    168    150

168    170    140    138    140    170    168    142    155    152

155    152    168    170    148    155    155    140    155    155

Se pide:

  • Agrupar los datos en una tabla de frecuencias con 6 intervalos e interpretar algunos valores de la tabla.
  • Dibujar un histograma de frecuencias.
  • Hallar media aritmética, mediana y moda para datos agrupados.
  • Hallar la varianza, desviación típica, desviación media y coeficiente de variación.

 

 

 

LÍMITE DE FUNCIONES

LÍMITE DE FUNCIONES

Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto C, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los valores de x se acercan al valor C. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando las x tienden a C.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto c = 2.

x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

se concluye entonces que el limite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2 es 4

El límite de una función en un punto si existe, es único.

Ejemplos

1. Función a trozos

Límites laterales

limite por la izquierda

limite por la izquierda

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

2. función

limite por la izquierda

limite por la derecha

Como no coinciden los límites laterales,la función no tiene límite en x = 0.

Generalicemos ahora para una función f cualquiera

Teniendo en cuenta la gráfica definimos el concepto de límite:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  \varepsilon > 0 \; existe un  \delta > 0 \; tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon.

Propiedades de los límites

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de Expresión
Una constante  \lim_{x \to c} k =\, k,\, donde\, k\in \R \,
La función identidad  \lim_{x \to c} x = \, c \,
El producto de una función y una constante  \lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,
Una suma  \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,
Una resta  \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,
Un producto  \lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,
Un cociente  \lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,
Una potencia  {\lim_{x \to c}  f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0
Un logaritmo  {\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}
El número e  {\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal  {\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0.

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere \infty \,\! como el límite que tiende a infinito y 0 \,\! al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación Indeterminación
Sustracción \infty - \infty
Multiplicación \infty \cdot 0
División \cfrac{\infty}{\infty}, \cfrac{0}{0}
Elevación a potencia 1^\infty, \infty ^0, 0^0
Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

límite

Es decir para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

Cálculo del límite en un punto

Cálculo del límite en un punto

Cálculo del límite en un punto

No podemos calcular límite porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular límite, porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= R − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

función a trozos.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:límite

Por la derecha:Limite

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:límite

Por la derecha:límite

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

 EJERCICIOS

Calcular los siguientes límites

 1.                Límite

2                 Límite

3.                Límite

4.                  Límite